[논문 리뷰] Initial coefficient bounds for certain classes of Meromorphic bi-univalent functions

Halit Orhan, N. Magesh외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 11.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매개수 μ와 λ를 포함하는 일반화된 미분 연산자를 사용하여 정의된 두 가지 새로운 유형의 유리형 이단조 함수—순서 α의 항성형 및 강한 항성형—을 소개하고 조사한다. 하위순서 기법과 계수 추정을 통해 초기 계수 |b₀| 및 |b₁|에 대한 날카로운 상한을 도출하며, 이는 이전의 해석적 이단조 함수 결과를 명시적인 정량적 추정을 포함한 유리형 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we extend the concept of bi-univalent to the class of meromorphic functions. We propose to investigate the coefficient estimates for two classes of meromorphic bi-univalent functions. Also, we find estimates on the coefficients |b0| and |b1| for functions in these new classes. Some interesting remarks and applications of the results presented here are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 해석적 이단조 함수의 개념을 구멍이 난 단위 원판 내의 유리형 함수로 확장하기.
• 매개수 μ와 λ를 가진 두 가지 새로운 유형의 유리형 이단조 함수의 하위류—순서 α의 항성형 및 강한 항성형—을 정의하고 연구하기.
• 이러한 함수의 로렌츠 급수 전개에서 초기 계수 |b₀| 및 |b₁|에 대한 날카로운 추정을 확립하기.
• 탄력적인 미분 연산자를 도입함으로써 이전의 유리형 이단조 함수 계수 추정 결과를 일반화하고 통합하기.

제안 방법

• 매개수 μ와 λ를 포함하는 일반화된 미분 연산자를 사용하여 유리형 이단조 항성형 함수의 하위류 Σₘ⁎(α, μ, λ)를 정의한다.
• 동일한 연산자를 사용하여 로그적 인자 조건을 포함한 유리형 이단조 강한 항성형 함수의 하위류 ṽΣₘ⁎(α, μ, λ)를 정의한다.
• 하위순서 이론을 사용하여 함수와 그 역함수를 실부가 양수인 해석 함수와 연결한다.
• 계수 비교를 통해 b₀ 및 b₁를 이러한 양수 실부 함수의 계수로 표현한다.
• 실부가 양수인 함수에 대한 알려진 계수 추정(보조정리 1.3)을 적용하여 |b₀| 및 |b₁|에 대한 추정을 유도한다.
• 유도된 식과 부등식을 조합하여 대수적 변환과 최적화를 통해 |b₀| 및 |b₁|에 대한 명시적 상한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리형 이단조 함수의 순서 α에 대해 로렌츠 급수에서 초기 계수 |b₀| 및 |b₁|에 대한 날카로운 계수 추정은 무엇인가?
• RQ2 일반화된 미분 연산자에 포함된 매개수 μ와 λ는 새로운 하위류 Σₘ⁎(α, μ, λ) 및 ṽΣₘ⁎(α, μ, λ)의 계수 추정에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 하위순서 기법과 계수 비교를 통해 유리형 이단조 함수의 계수 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ4 μ = 0 및 λ = 1일 때 결과는 이전의 알려진 결과로 어떻게 일반화되거나 축소되는가?
• RQ5 유리형 이단조 함수의 함수와 그 역함수의 계수 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 하위류 Σₘ⁎(α, μ, λ)에 대해 |b₀|의 날카로운 상한은 계수 비교와 실부가 양수인 함수로의 하위순서를 통해 |b₀| ≤ (2 − 2α)/(λ − μ)로 도출된다.
• 동일한 하위류에 대해 |b₁|의 날카로운 상한은 대수적 변환과 계수 추정을 통해 |b₁| ≤ 2(1 − α)√[(1 − μ)²(1 − α)²/(λ − μ)⁴ + 1/(2λ − μ)²]로 얻어진다.
• 하위류 ṽΣₘ⁎(α, μ, λ)에 대해 |b₀|의 상한은 |b₀| ≤ 2α/(λ − μ)이며, λ = 1 및 μ = 0일 때 기존 결과로 축소된다.
• 동일한 하위류에 대해 |b₁|의 상한은 |b₁| ≤ 2α²√[1/(2λ − μ)² + (1 − μ)²/(λ − μ)⁴]로, 하위순서와 계수 비교를 통해 유도된다.
• 결과는 하위류 Σₘ⁎(α, μ, λ) 및 ṽΣₘ⁎(α, μ, λ)에 대해 이전의 유리형 이단조 함수 결과를 일반화하고 통합하며, 특히 Halim 등 [9]의 결과를 확장한다.
• μ = 0 및 λ = 1일 때, 정리 2.1 및 2.2의 상한은 Halim 등 [9, 정리 1 및 정리 2]의 결과와 정확히 일치하며, 일관성과 일반성의 타당성을 확인한다.