[논문 리뷰] Instanton counting on blowup. II. $K$-theoretic partition function

Hiraku Nakajima, Kōta Yoshioka|ArXiv.org|2005. 05. 25.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 10인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 5차원 $\upsilon$-변형된 $\upsilon$-초대칭 양-밀스 이론에서 K-이론적 인스탄톤 분할 함수에 대한 폭발 방정식의 체계를 수립하며, $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$에서의 정칙성을 증명하고 랭크 2 경우의 계수 1 항에 대한 명시적 표현을 도출한다. $\mathbb{P}^2$의 폭발 위에서의 모듈리 공간의 등변 K-이론과 기하학적 분석을 통해, 분할 함수와 그 전위함수 극한을 유일하게 결정하는 함수방정식을 유도한다.

ABSTRACT

We study Nekrasov's deformed partition function of 5-dimensional supersymmetric Yang-Mills theory compactified on a circle. Mathematically it is the generating function of the characters of the coordinate rings of the moduli spaces of instantons on $\mathbb R^4$. We show that it satisfies a system of functional equations, called blowup equations, whose solution is unique. As applications, we prove (a) logarithm of the partition function times $ε_1ε_2$ is regular at $ε_1 = ε_2 = 0$, (a part of Nekrasov's conjecture), and (b) the genus 1 parts, which are first several Taylor coefficients of the logarithm of the partition function, are written explicitly in terms of the Seiberg-Witten curves in rank 2 case.

연구 동기 및 목표

• Nekrasov의 추측, 즉 K-이론적 전위함수 $F^{\text{inst}}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ 가 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ 에서 정칙하다는 것을 증명하는 것.
• 폭발 방정식을 사용하여 랭크 2 경우에서 전위함수의 계수 1 항에 대한 명시적 표현을 도출하는 것.
• K-이론적 인스탄톤 분할 함수를 유일하게 결정하는 함수방정식(폭발 방정식)의 체계를 수립하는 것.
• 문헌 [13]의 접근법을 등변 cohomology 에서 등변 K-이론으로 확장하여 K-이론적 분할 함수에 적용하는 것.

제안 방법

• 모듈리 공간의 기하적 기능을 갖는 $\widehat{\mathbb{P}}^2$ 위에서 인스탄톤의 구조층의 코homology 군의 특성치를 생성함수로 정의하여 K-이론적 인스탄톤 분할 함수를 정의한다.
• Atiyah-Bott-Lefschetz 공식을 사용하여 폭발 위에서의 상관 함수를 분할 함수 $Z^{\text{inst}}$ 로 표현한다.
• 폭발 모듈리 공간 위에서 특정 코homology 군의 소멸을 증명함으로써 함수방정식을 도출한다.
• 분할 함수 $Z^{\text{inst}}$ 에서 $\mathfrak{q}^n$ 의 계수를 순환적으로 결정하는 폭발 방정식의 체계를 유도한다.
• $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 극한을 취하여 호모로지적 형태를 회복하고 전위함수의 접촉 항 방정식을 유도한다.
• 다중로그 함수 항등식과 점근 전개를 사용하여 $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 극한을 분석하고 계수 1 항을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Nekrasov의 추측에 따르면, K-이론적 인스탄톤 분할 함수는 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ 에서도 정칙한가?
• RQ2 폭발 방정식을 사용하여 랭크 2 경우에서 전위함수의 계수 1 항을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 폭발 방정식은 K-이론적 분할 함수와 그 전위함수를 유일하게 결정하는가?
• RQ4 $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 극한에서 K-이론적 분할 함수는 Seiberg-Witten 전위함수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• K-이론적 전위함수 $F^{\text{inst}}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ 는 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ 에서 정칙하며, Nekrasov의 추측의 일부를 확인한다.
• 랭크 2 경우에서 전위함수의 계수 1 항은 $\tau = d^2 F^{\text{inst}}_0(0,0,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})/da^2$ 를 통해 명시적으로 기술된다.
• 폭발 방정식은 K-이론적 분할 함수 $Z^{\text{inst}}$ 에서 $\mathfrak{q}^n$ 의 계수를 유일하게 결정한다.
• 폭발 방정식에서 도출된 접촉 항 방정식은 인스탄톤 부분 전위함수 $F^{\text{inst}}_0(\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ 를 순환적으로 결정한다.
• $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 극한에서 K-이론적 전위함수는 호모로지적 전위함수로 수렴하며, 계수 1 항은 기존 결과와 일치한다.
• 다중로그 함수 $\operatorname{Li}_k(e^{-\boldsymbol{\beta}x})$ 의 점근적 행동은 $\beta^{k+1} \operatorname{Li}_{-k}(e^{-\boldsymbol{\beta}x}) \to k! x^{-k-1}$ 를 유도하며, 이는 고전적 극한을 회복하는 데 기여한다.