[논문 리뷰] Instantons and affine algebras I: The Hilbert scheme and vertex operators

I. Grojnowski|arXiv (Cornell University)|1995. 06. 25.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 표면 상의 대수적 곡선에 관련된 대응을 통해 순간자 모듈리 공간의 코homology 위에 아핀 리 대수의 작용에 대한 기하적 실현을 확립한다. 표현의 중심 전하가 게이지 군의 랭크와 같음을 보이며, U(1)-순간자에 대해서는 Frenkel-Kac 기본 표현이 얻어지며, 제2 Chern 특성의 이차형식이 차수 연산자의 고유값과 일치함을 보인다.

ABSTRACT

This is the first in a series of papers which describe the action of an affine Lie algebra with central charge $n$ on the moduli space of $U(n)$-instantons on a four manifold $X$. This generalises work of Nakajima, who considered the case when $X$ is an ALE space. In particular, this describes the combinatorial complexity of the moduli space as being precisely that of representation theory, and thus will lead to a description of the Betti numbers of moduli space as dimensions of weight spaces. This Lie algebra acts on the space of conformal blocks (iė\., the cohomology of a determinant line bundle on the moduli space) generalising the ``insertion'' and ``deletion'' operations of conformal field theory, and indeed on any cohomology theory. In the particular case of $U(1)$-instantons, which is essentially the subject of this present paper, the construction produces the basic representation after Frenkel-Kac. Then the well known quadratic nature of $ch_2$, $$ch_2 = \frac{1}{2} c_1\cdot c_1 - c_2 $$ becomes precisely the formula for the eigenvalue of the degree operator, iė\. the well known quadratic behaviour of affine Lie algebras.

연구 동기 및 목표

• U(n)-순환자 모듈리 공간 위에서 아핀 리 대수의 작용을 구축함으로써 Nakajima의 ALE 공간에 대한 작업을 임의의 대수적 표면으로 일반화하기.
• 모듈리 공간의 조합적 복잡성이 아핀 리 대수의 표현 이론에서 기인함을 설명하기.
• 표현의 중심 전하가 U(n)의 게이지 군 랭크 n과 같음을 보여주기.
• 결정선다발의 코homology(등각 블록)가 아핀 리 대수의 작용을 지닌다는 것을 확립하여 등각 장 이론 연산을 일반화하기.
• U(1)-순환자에 대해서는 구성이 Frenkel-Kac 기본 표현을 얻으며, 제2 Chern 특성의 이차형식이 차수 연산자의 고유값과 대응됨을 보여주기.

제안 방법

• 표면 X 상의 대수적 곡선 Σ ⊂ X를 이용해 U(n)-순환자 모듈리 공간 위에 대응을 구축하고, 이를 코homology 이론에 유도하는 맵을 정의하기.
• 이 대응이 아핀 리 대수를 정의하는 교환관계를 만족함을 보이며, 유한 루트 체계로 H²(X, ℤ)를 사용하기.
• 특히 U(1)의 경우 곡선 沿해의 기본 수정을 이용해 아핀 헤이젠베르크 대수를 생성하는 연산자를 정의하기.
• 유도된 표현의 중심 전하가 정확히 게이지 군 U(n)의 랭크 n임을 보여주기.
• 모듈리 공간 상의 결정선다발의 코homology가 등각 블록의 공간을 이루며 아핀 리 대수의 작용을 지닌다는 것을 확인하기.
• 특히 U(1)의 경우 Hilbert 스킴의 기하학을 활용하여 정점 연산자를 통해 아핀 카크-무디 대수의 기본 표현을 실현하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 대수적 표면 X 위의 U(n)-순환자 모듈리 공간에서 아핀 리 대수의 작용을 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 대수적 곡선이 코homology 위에 리 대수의 작용을 유도하는 대응을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 왜 표현의 중심 전하가 게이지 군 U(n)의 랭크 n과 같아지는가?
• RQ4 제2 Chern 특성의 이차형식은 표현에서 차수 연산자의 고유값과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 U(1)의 경우 Frenkel-Kac 구성의 기하학적 기원은 무엇인가?

주요 결과

• 표면 X 상의 U(n)-순환자 모듈리 공간은 중심 전하가 n인 자연스러운 아핀 리 대수의 작용을 지닌다.
• 대수적 곡선에 관련된 대응은 코homology 랏 H²(X, ℤ)를 유한 루트 체계로 사용하는 아핀 리 대수를 생성한다.
• U(1)-순환자에 대해서는 Frenkel-Kac 아핀 카크-무디 대수의 기본 표현이 얻어진다.
• 제2 Chern 특성은 ch₂ = ½c₁·c₁ − c₂ 를 만족하며, 이는 아핀 리 대수 표현에서 차수 연산자의 고유값 공식과 정확히 일치한다.
• 모듈리 공간 상의 결정선다발의 코homology는 등각 블록의 공간을 실현하며 아핀 리 대수의 작용을 지닌다.
• 표현의 중심 전하는 게이지 군의 랭크 n로 확인되며, S dualit의 예측과 일치함을 확인한다.