[논문 리뷰] Instantons beyond topological theory II

Edward Frenkel, A. Losev외 1명|ArXiv.org|2008. 03. 23.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 29인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 전통적인 자유장 또는 위상수학적 근사 대신 '무한한 반경 근사'를 취하여 인stanton을 가진 양자장론을 연구하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 비위상적(비-BPS) 관측량—특히 제트-평가 관측량—의 상관함수는 해석적 연장된 적분으로서 유한차원의 해석적 매핑의 모듈리 공간 위에서 계산될 수 있으며, 해밀토니안에 조르당 블록이 존재하고 연산자 간 로그 혼합이 일어나는 로그 혼합 conformal field theory(LCFT)의 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

The present paper is the second part of our project in which we describe quantum field theories with instantons in a novel way by using the "infinite radius limit" (rather than the limit of free field theory) as the starting point. The theory dramatically simplifies in this limit, because the correlation functions of all, not only topological (or BPS), observables may be computed explicitly in terms of integrals over finite-dimensional moduli spaces of instanton configurations. In Part I (arXiv:hep-th/0610149) we discussed in detail the one-dimensional (that is, quantum mechanical) models of this type. Here we analyze the supersymmetric two-dimensional sigma models and four-dimensional Yang--Mills theory, using the one-dimensional models as a prototype. We go beyond the topological (or BPS) sectors of these models and consider them as full-fledged quantum field theories. We study in detail the space of states and find that the Hamiltonian is not diagonalizable, but has Jordan blocks. This leads to the appearance of logarithms in the correlation functions. We find that our theories are in fact logarithmic conformal field theories (theories of this type are of interest in condensed matter physics). We define jet-evaluation observables and consider in detail their correlation functions. They are given by integrals over the moduli spaces of holomorphic maps, which generalize the Gromov--Witten invariants. These integrals generally diverge and require regularization, leading to an intricate logarithmic mixing of the operators of the sigma model. A similar structure arises in the four-dimensional Yang--Mills theory as well.

연구 동기 및 목표

• 인stanton을 가진 양자장론에 대한 비위상적이고 기하학적인 프레임워크를 개발하여, 기존의 위상수학적 또는 자유장 근사에서 벗어나고자 한다.
• 초대칭 시그마 모델과 양-밀스 이론의 전체 양자적 구조를 이해하고, 비-BPS 상태와 관측량을 포함하고자 한다.
• 상관함수와 연산자 혼합에서 로그 구조가 나타나는 원인을 규명하고, 이와 같은 로그 혼합이 로그 conformal field theory(LCFT)와 어떻게 연결되는지를 밝히고자 한다.
• 제트-평가 관측량을 도입함으로써 고전적 Gromov–Witten 불변량을 일반화하고, 경계 수렴성으로 인한 발산으로 인해 정규화가 필요한 상관함수를 분석하고자 한다.
• ADHM 구성법과 에퀴바리언트 적분을 사용하여 이러한 결과를 4차원 초대칭 양-밀스 이론으로 확장하고자 한다.

제안 방법

• 인stanton을 가진 양자장론을 분석하는 데 기초로 삼기 위해, 약한 결합 근사나 위상수학적 근사 대신 무한한 반경 근사를 사용한다.
• 목표 다양체의 제트 공간 위의 미분형식으로서 제트-평가 관측량을 정의하여, 일반적인 평가 연산자를 도함수를 포함하는 형태로 일반화한다.
• 2차원에서는 해석적 매핑의 모듈리 공간 위에서, 4차원에서는 반자기적 연결의 모듈리 공간 위에서 상관함수를 적분으로 계산하고, 인stanton에 대해 ADHM 구성법을 적용한다.
• 모듈리 공간의 경계 분할에서 발생하는 발산을 다루기 위해 정규화 기법을 적용하여 상관함수에 로그 항이 나타나도록 한다.
• 해밀토니안의 구조를 분석하고, 대각화되지 않은 상태 공간에서 조르당 블록이 존재함을 보이며, 이는 상태와 연산자 간의 로그 혼합을 의미한다.
• 에퀴바리언트 적분과 해석적 매핑 연산자를 사용하여 인stanton 보정을 계산하고, 로그 항이 포함된 연산자 곱 전개(OPE)를 재구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인stanton을 가진 양자장론에서 비위상적 관측량의 상관함수는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 무한한 반경 근사는 위상수학적 영역을 초월하여 시그마 모델과 양-밀스 이론의 동역학을 어떻게 단순화하는가?
• RQ3 왜 제트-평가 관측량의 상관함수는 로그 항을 가지며, 이러한 로그 혼합의 물리적·수학적 기원은 무엇인가?
• RQ4 이론의 해밀토니안 구조는 상태 공간에서 비대각화를 유도하고 조르당 블록을 어떻게 만들어내는가?
• RQ5 로그 conformal field theory(LCFT)의 구조는 시그마 모델과 양-밀스 이론과 같은 기하학적 양자장론에서 실제로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 무한한 반경 근사는 모든 관측량—위상수학적 및 비위상수학적 관측량—의 상관함수가 인stanton의 모듈리 공간 위의 유한차원 적분으로 계산될 수 있도록 극적으로 단순화한다.
• 이론의 해밀토니안은 대각화되지 않으며 조르당 블록을 포함하고 있어, 이는 상관함수에 직접적으로 로그 항이 나타나게 한다.
• 이 이론은 특히 $\mathbb{P}^1$과 토러스 목표를 가진 경우 중심 전하 $c = 0$인 로그 혼합 conformal field theory(LCFT)로 식별된다.
• 해석적 매핑의 값과 도함수에 의존하는 제트-평가 관측량은 해석적 매핑의 모듈리 공간 위에서 정규화된 적분으로서 상관함수를 제공하며, 이는 Gromov–Witten 불변량을 일반화한다.
• 이 적분의 정규화는 비표준적이며, Part I에서 다룬 양자역학적 모델과 유사하게 연산자 간의 로그 혼합을 유도한다.
• 4차원 $\mathcal{N}=4$ 양-밀스 이론에서는 유사한 로그 구조가 1-인stanton 영역에서 나타나며, OPE는 ADHM 모듈리 공간 적분으로부터 유도된 로그 항을 포함한다.