[논문 리뷰] Integers expressible as the sum of two rational cubes

Levent Alpöge, Manjul Bhargava외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 유리수의 세제곱합으로 표현 가능한 정수의 비율이 양이며, 그 비율이 2/21 이상임을 증명한다. 또한 표현 불가능한 정수의 비율 역시 양이며, 그 하한은 1/6 이상이다. 저자들은 이 결과를 얻기 위해 삼차 변형 가닥의 타원곡선에서 2-Selmer 군의 평균 크기가 3임을 보였으며, 이는 일반화된 이항 삼차형식의 매개화와 고급 해석적 수론 기법(원 방법 및 수체의 기하학)을 활용한다.

ABSTRACT

We prove that a positive proportion of integers are expressible as the sum of two rational cubes, and a positive proportion are not so expressible, thus proving a conjecture of Davenport. More generally, we prove that a positive proportion (in fact, at least one sixth) of elliptic curves in any cubic twist family have rank 0, and a positive proportion (in fact, at least one sixth) of elliptic curves with good reduction at 2 in any cubic twist family have rank 1. Our method involves proving that the average size of the 2-Selmer group of elliptic curves in any cubic twist family, having any given root number, is 3. We accomplish this by generalizing a parametrization, due to the second author and Ho, of elliptic curves with extra structure by pairs of binary cubic forms. We then use a novel combination of geometry-of-numbers methods and the circle method that builds on earlier work of Ruth and the first author. In particular, we make use of a new interpretation of the singular integral and series arising in the circle method in terms of real and $p$-adic Haar measures on the relevant group. We prove a uniformity estimate for integral points on the relevant quadric, which along with a sieve allows us to prove that the average size of the 2-Selmer group over the cubic twist family is 3. By suitably partitioning the subset of curves in the family with given root number, we effect a further sieve to show that the root number is equidistributed and that the same average, now taken over only those curves of given root number, is again 3. Finally, we apply the $p$-parity theorem of Dokchitser-Dokchitser and a $p$-converse theorem of Burungale-Skinner to conclude. We also prove the analogue of the above results for the sequence of square numbers: namely, we prove that a positive proportion of square integers are expressible as the sum of two rational cubes, and a positive proportion are not.

연구 동기 및 목표

• 두 유리수의 세제곱합으로 표현 가능한 정수의 집합이 자연 밀도를 가지는지 확인하는 것.
• 이 밀도가 0과 1 사이에 엄밀히 존재하는지 여부를 해결하는 것.
• 그러한 정수와 그 여집합에 대한 정량적 하한 밀도를 설정하는 것.
• 유리수 위의 삼차 변형 가닥에서 랭크(0 및 1)의 분포를 분석하는 것.
• 이러한 가닥에서 2-Selmer 군의 평균 크기가 정확히 3임을 증명함으로써, p-짝성 정리와 p-역정리들을 활용해 랭크 분포에 대한 결론을 이끌어내는 것.

제안 방법

• Bhargava와 Ho의 작업을 확장하여, 추가 구조를 가진 타원곡선의 매개화를 이항 삼차형식의 쌍을 통한 일반화.
• 합동 조건과 불변량의 유계 조건을 만족하는 이항 삼차형식의 쌍이 속한 쌍곡초곡면 위의 정수 궤도를 세는 것.
• SL₂(Z) × SL₂(Z)의 기본 영역에서 이러한 궤도의 수를 추정하기 위해 수체 기하학 기법과 원 방법을 적용.
• 원 방법의 특이 적분과 특이 급수를 SL₂ × SL₂ 위의 Haar 측도에 대한 실수 및 p진 적분으로 재해석.
• 균일성 추정과 걸러내기 기법을 사용하여 전체 삼차 변형 가닥에서 2-Selmer 군의 평균 크기가 3임을 보임.
• 근수에 따라 가닥을 분할하고 추가 걸러내기 기법을 적용하여 근수의 균등 분포와 각 근수 클래스 내에서 2-Selmer 크기의 평균이 여전히 3임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 유리수의 세제곱합으로 쓸 수 있는 정수의 자연 밀도는 무엇인가?
• RQ2 이러한 합으로 표현 가능한 정수와 표현 불가능한 정수의 밀도에 대해 양의 하한이 존재하는가?
• RQ3 타원곡선의 삼차 변형 가닥에서 2-Selmer 군의 평균 크기는 얼마인가?
• RQ4 2에서 양호한 감소를 갖는 타원곡선의 삼차 변형에서 랭크(0 및 1)는 어떻게 분포하는가?
• RQ5 p-짝성 정리와 p-역정리들을 적용하여 Selmer 군 통계로부터 랭크 분포를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 두 유리수의 세제곱합으로 표현 가능한 정수의 비율이 양이며, 하한 밀도는 2/21 이상이다.
• 두 유리수의 세제곱합으로 표현 불가능한 정수의 비율도 양이며, 하한 밀도는 1/6 이상이다.
• 모든 삼차 변형 가닥에서 2-Selmer 군의 평균 크기는 정확히 3이다.
• 모든 삼차 변형 가닥에서 적어도 1/6의 타원곡선이 랭크 0이며, 2에서 양호한 감소를 갖는 곡선 중 적어도 1/6는 랭크 1이다.
• 근수는 삼차 변형 가닥 전체에서 균등 분포하며, 고정된 근수를 갖는 곡선으로 제한할 경우에도 2-Selmer 군의 평균 크기는 여전히 3이다.
• 결과는 원 방법의 특이 급수와 적분을 SL₂ × SL₂ 위의 Haar 측도로 재해석한 새로운 해석과 p-짝성 정리, p-역정리들을 결합하여 확립되었다.