[논문 리뷰] Integrability and reduction of Poisson group actions

Luca Stefanini|ArXiv.org|2007. 10. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 자유이고 적절한 푸아송 군 작용에 대해 몐골드 푸아송 다양체의 몫의 적분 가능성을 증명한다. 이를 위해 작용에 대해 심플렉틱 이중 군량체를 구성하고, 순간 사상에 대해 미카미-웨인스타인 스타일의 축소를 수행한다. 주요 결과는 완전한 푸아송 군이 적분 가능 푸아송 다양체 위에 자유이고 적절하게 작용할 경우, 몫도 역시 적분 가능하다는 것이며, 명시적인 심플렉틱 군량체는 이중 리 군량체의 구조를 축소하여 구성된다.

ABSTRACT

In this paper we study Poisson actions of complete Poisson groups, without any connectivity assumption or requiring the existence of a momentum map. For any complete Poisson group $G$ with dual $G^\star$ we obtain a suitably connected integrating symplectic double groupoid $\calS$. As a consequence, the cotangent lift of a Poisson action on an integrable Poisson manifold $P$ can be integrated to a Poisson action of the symplectic groupoid $\poidd{\calS}{G^\star}$ on the symplectic groupoid for $P$. Finally, we show that the quotient Poisson manifold $P/G$ is also integrable, giving an explicit construction of a symplectic groupoid for it, by a reduction procedure on an associated morphism of double Lie groupoids.

연구 동기 및 목표

• 자유이고 적절한 푸아송 군 작용에 의해 적분 가능 푸아송 다양체의 몫이 여전히 적분 가능할지에 대한 열린 질문을 해결하기 위해.
• 연결성 가정 없이도 임의의 완전한 푸아송 군에 대해 심플렉틱 이중 군량체를 구성함으로써 푸아송 군의 적분 가능성 이론을 확장하기 위해.
• 쿠의 축소 절차를 일반화하기 위해 푸아송 군 작용을 심플렉틱 이중 군량체로 올리고, 이중 리 군량체의 순간 사상에 대해 축소를 수행하기 위해.
• 모멘텀 매핑이 존재하지 않을 경우에도 유효한, 몫 푸아송 구조에 대한 함자적이고 기하학적인 심플렉틱 군량체 구성법을 제공하기 위해.

제안 방법

• G와 그 이중 G* 사이의 대칭성에 기반해, 루와 웨인스타인의 결과를 비단순 연결된 군으로 일반화함으로써, 임의의 완전한 푸아송 군 G를 심플렉틱 이중 군량체 S로 적분한다.
• 기저 다양체 P 위의 푸아송 G-작용의 코탄제ント 리프트를, P의 심플렉틱 군량체 위에 있는 S의 푸아송 작용으로 올린다.
• Λ를 P의 심플렉틱 군량체로 하고, Λ와 G* 사이의 순간 사상 J: Λ → G*를 올린 작용을 사용하여 구성한다.
• J의 핵에 대해 미카미-웨인스타인 축소를 수행하고, J⁻¹(e*) 위의 G-작용을 이용해 P/G에 대한 심플렉틱 군량체를 생성한다.
• 축소된 공간 J⁻¹(e*)/G가 매끄럽고, 원래 Λ 위의 형식으로부터 당김되는 유일한 심플렉틱 형식을 지닌다는 것을 보인다.
• 카타네오-펠더와 크라인-페르난데스의 리 대수다형성과 적분 조건을 올리는 방식을 사용하여 매끄럽고 적분 가능하다는 것을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유이고 적절한 푸아송 군 작용에 의해 적분 가능 푸아송 다양체의 몫이 언제 다시 적분 가능해지는가?
• RQ2 푸아송 군 작용의 코탄제ント 리프트는 기저 다양체의 심플렉틱 군량체 위에 있는 푸아송 작용으로 어떻게 적분될 수 있는가?
• RQ3 모멘텀 매핑이 필요 없이도 몫 푸아송 구조에 대한 심플렉틱 군량체를 구성하는 일반적인 축소 절차는 존재하는가?
• RQ4 군의 0-또는 1-연결성 조건을 가정하지 않고도 완전한 푸아송 군의 적분 가능성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 이중 리 군량체의 순간 사상은 쿠의 및 페르난데스-오르테가-라티우의 고전적 축소 절차와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 임의의 완전한 푸아송 군 G는 비단순 연결 군일 경우에도 심플렉틱 이중 군량체 S로 적분 가능하며, 이는 루와 웨인스타인의 결과를 일반화한다.
• 기본 푸아송 다양체 P 위의 푸아송 G-작용의 코탄제ント 리프트는 P의 심플렉틱 군량체 Λ 위에 있는 S의 푸아송 작용으로 적분 가능하다.
• 몫 푸아송 다양체 P/G는 적분 가능하며, 순간 사상 J: Λ → G*의 축소를 통해 심플렉틱 군량체 구조를 가진다.
• 축소된 공간 J⁻¹(e*)/G는 매끄럽고, pr*ω̲ = ι*ω 를 만족하는 고유한 심플렉틱 형식 ω̲를 지닌다. 이는 P/G에 대한 심플렉틱 군량체이다.
• 이 구성은 쿠의 축소를 일반화하고, 몫이 항상 매끄럽다는 것을 보여주며, 페르난데스-오르테가-라티우의 적분 결과를 푸아송 군 작용 설정으로 확장한다.
• 적절한 작용 이중 리 군량체를 통해, 완전한 푸아송 군의 작용에 관련된 행동 LA-군량체의 적분 가능성이 확립된다.