[논문 리뷰] Integrals of Borcherds forms

Stephen S. Kudla|ArXiv.org|2001. 10. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 27인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 정규화된 스칼라 스핀 함수와 에이젠스타인 급수를 이용하여, 정수론적 이중형식의 로그 노름에 대한 아라켈로프 이론적 적분에 대해 명시적인 공식을 유도한다. 주요 결과는 모듈라 형식의 푸리에 계수와 L-함수의 특별한 값들의 가중합으로 적분을 표현하며, 히그너 사이클의 높이와 모듈라 삼차곡면에서의 산술적 교차 이론에 적용된다.

ABSTRACT

In his Inventiones papers in 1995 and 1998, Borcherds constructed holomorphic automorphic forms $Ψ(F)$ with product expansions on bounded domains $D$ associated to rational quadratic spaces $V$ of signature (n,2). The input $F$ for his construction is a vector valued modular form of weight $1-n/2$ for $SL_2(Z)$ which is allowed to have a pole at the cusp and whose non-positive Fourier coefficients are integers $c_μ(-m)$, $m\ge0$. For example, the divisor of $Ψ(F)$ is the sum over $m>0$ and the coset parameter $μ$ of $c_μ(-m) Z_μ(m)$ for certain rational quadratic divisors $Z_μ(m)$ on the arithmetic quotient $X = ΓD$. In this paper, we give an explicit formula for the integral $κ(Ψ(F))$ of $-\log||Ψ(F)||^2$ over $X$, where $||.||^2$ is the Petersson norm. More precisely, this integral is given by a sum over $μ$ and $m>0$ of quantities $c_μ(-m) κ_μ(m)$, where $κ_μ(m)$ is the limit as $Im(τ) -> \infty$ of the $m$th Fourier coefficient of the second term in the Laurent expansion at $s= n/2$ of a certain Eisenstein series $E(τ,s)$ of weight $n/2 + 1$ attached to $V$. It is also shown, via the Siegel--Weil formula, that the value $E(τ, n/2)$ of the Eisenstein series at this point is the generating function of the volumes of the divisors $Z_μ(m)$ with respect to a suitable Kähler form. The possible role played by the quantity $κ(Ψ(F))$ in the Arakelov theory of the divisors $Z_μ(m)$ on $X$ is explained in the last section.

연구 동기 및 목표

• 오р토고널 시무라 다양체 위의 보르처스 형식의 로그 노름에 대한 아라켈로프 적분을 계산하는 것.
• 이 적분을 에이젠스타인 급수와 L-함수의 특별한 값과 연결하는 것.
• 이 적분과 히그너 사이클의 산술적 높이 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 정규화된 스칼라 스핀 함수를 이용한 오르토고널 시무라 다양체 위에서의 산술적 교차 이론에 대한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 벡터 값 모듈라 형식에 대한 정규화된 적분으로서 보르처스 형식의 로그 노름을 표현하기 위해 정규화된 스칼라 스핀 함수를 사용하는 것.
• 스텔라-바이어 공식을 적용하여 스칼라 스핀 함수를 무게 $ n/2 + 1 $ 인 에이젠스타인 급수와 연결하는 것.
• 에이젠스타인 급수의 $ s = n/2 $ 에서의 로렌츠 전개의 두 번째 항을 계산하여, 마스 연산자를 통해 적분을 도출하는 것.
• 보르처스의 작업에서 유도된 스토크스 정리를 활용하여 적분과 정규화의 순서를 바꾸는 것의 정당성을 보장하는 것.
• 에이젠스타인 급수를 통한 사이클 차수의 생성 함수 유도로, 푸리에 계수와 히그너 분할의 부피를 연결하는 것.
• 푸리에 계수 $ c_\mu(-m) $ 와 특별한 값 $ \kappa_\mu(m) $ 의 합으로서 적분 $ \kappa(\Psi(f)) $ 의 명시적 계산을 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오르토고널 시무라 다양체 위의 보르처스 형식에 대해 아라켈로프 적분 $ \kappa(\Psi(f)) = -\text{vol}(X)^{-1} \int_X \log \|\Psi(z,f)\|^2 d\mu(z) $ 의 명시적 값은 무엇인가?
• RQ2 적분 공식에 나타나는 계수 $ \kappa_\mu(m) $ 는 L-함수의 특별한 값과 로그 항과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 보르처스 형식의 로그 노름의 적분은 사이클 차수와 산술적 높이의 선형 조합로 표현될 수 있는가?
• RQ4 compact 몰리피케이션 위에 존재하는 모듈라 형식 $ D_B $ 가 존재하여, $ \kappa_\mu(m) $ 가 $ \log(y_r |D_B(z)|) $ 를 포함하는 높이 유사 항과 관련이 있는가?

주요 결과

• 적분 $ \kappa(\Psi(f)) $ 는 $ \sum_{\mu} \sum_{m \geq 0} c_\mu(-m) \kappa_\mu(m) $ 로 주어지며, 여기서 $ \kappa_\mu(m) $ 는 에이젠스타인 급수의 $ s = n/2 $ 에서의 로렌츠 전개의 상수항과 잔여항을 통해 정의된다.
• 모든 $ m > 0 $ 에 대해, $ n=5 $, $ M=\mathbb{Z}^5 $, 정수형식의 부호가 (3,2)인 경우 $ \kappa_\mu(m) = \zeta(-3)^{-1} H(2,4m) \left[ \frac{4}{3} + 2 \frac{\zeta'(-3)}{\zeta(-3)} - \frac{1}{2} \log d - \frac{L'(-1,\chi_d)}{L(-1,\chi_d)} + \sum_{p|n} \left( \log|n|_p - \frac{b'_p(n,-1)}{b_p(n,-1)} \right) \right] $ 이다.
• 시겔 삼차곡면에서 히움베르트 표면 $ H_N $ 의 차수는 $ \deg(H_N) = -\frac{1}{12} H(2,N) $ 를 만족하며, 반 데르 게어의 결과를 복원한다.
• 공식 $ \kappa(\Psi(f)) $ 는 $ \widehat{\omega} $ 를 포함하는 가설적인 산술적 높이 공식과 일관되며, $ \kappa_\mu(m) $ 는 히그너 사이클의 높이 $ \widehat{h}(Z(m,\phi)) $ 와 추측적으로 관련되어 있다.
• 시겔 모듈라 형식 $ \Delta_5 $ 의 경우, 적분은 $ 10 \left( -\frac{4}{3} - 2 \frac{\zeta'(-3)}{\zeta(-3)} + \frac{\zeta'(-1)}{\zeta(-1)} + \frac{3}{2} \log 2 + \log \pi \right) - 7 \log 2 $ 로 평가되며, 알려진 특별한 값과 일치한다.
• 논문은 $ \kappa_\mu(m) $ 가 $ \sum_{z \in Z(m,\phi)} \log(y_r |D_B(z)| e^{-rC_0/2}) $ 와 관련되는 compact 몰리피케이션 위의 모듈라 형식 $ D_B $ 를 제안하며, 비콤팩트 몰리피케이션의 로흐리히 공식과 유사하게 기능한다.