[논문 리뷰] Integration of twisted Dirac brackets

Henrique Bursztyn, Marius Crainic외 2명|arXiv (Cornell University)|2003. 03. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다변수 M 위의 원천-단순연결된 비틀림이 있는 프레시마플렉틱 군oids와 폐포 3형식 φ에 의해 비틀림이 주어진 Dirac 구조 사이의 대응을 설정한다. 이는 군oids에서 상대적으로 φ-폐포된 승법적 2형식이 φ-비틀림 쿠르앙 브라켓에 대해 조건을 만족하는 리 대수의 사상 T*M로 일반화된 파울슨-심플렉틱 군oids 대칭 이중성의 비틀림 설정으로 확장하며, 준해밀토니안 공간과 군가치 운동량 맵을 통합한다.

ABSTRACT

The correspondence between Poisson structures and symplectic groupoids, analogous to the one of Lie algebras and Lie groups, plays an important role in Poisson geometry; it offers, in particular, a unifying framework for the study of hamiltonian and Poisson actions. In this paper, we extend this correspondence to the context of Dirac structures twisted by a closed 3-form. More generally, given a Lie groupoid $G$ over a manifold $M$, we show that multiplicative 2-forms on $G$ relatively closed with respect to a closed 3-form $ϕ$ on $M$ correspond to maps from the Lie algebroid of $G$ into the cotangent bundle $T^*M$ of $M$, satisfying an algebraic condition and a differential condition with respect to the $ϕ$-twisted Courant bracket. This correspondence describes, as a special case, the global objects associated to twisted Dirac structures. As applications, we relate our results to equivariant cohomology and foliation theory, and we give a new description of quasi-hamiltonian spaces and group-valued momentum maps.

연구 동기 및 목표

• 폐포 3형식 φ에 의해 비틀림이 주어진 경우, 파울슨 구조와 심플렉틱 군oids 사이의 대응을 비틀림이 있는 Dirac 구조로 일반화하기 위해.
• 다른 3형식 φ에 대해 상대적으로 φ-폐포된 승법적 2형식을 갖춘 군oids로 정의하고 특성화하기 위해.
• 군oids의 리 대수의 사상 A → T*M가 φ-비틀림 쿠르앙 브라켓에 대해 대수적 및 미분적 조건을 만족할 때, 이러한 비틀림이 있는 프레시마플렉틱 군oids를 분류하는 데 기여하기 위해.
• 비틀림이 있는 Dirac 기하학의 프레임워크 내에서 준해밀토니안 공간과 군가치 운동량 맵의 이론을 통합하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• 군oids G 위의 승법적 2형식 ω가 원천 s와 목표 t 사상에 대해 dω = s*φ − t*φ 를 만족하는 φ-비틀림 프레시마플렉틱 군oids의 개념을 도입한다.
• 이러한 군oids(동형사상에 대해)와 기저 다변수 M 위의 φ-비틀림 Dirac 구조 사이의 일대일 대응을 설정한다.
• 상대적으로 φ-폐포된 승법적 2형식의 무한소 대응을 리 대수의 준동형 A → T*M로 특성화하며, 이는 φ-비틀림 쿠르앙 브라켓을 포함한 대수적 조건과 미분적 조건을 만족한다.
• 논문 [13, Sec. 4.2]의 재구성 기법을 사용하여 무한소 데이터로부터 전역 승법적 2형식을 복원한다.
• Dirac 구조의 실현을 적용하여, 카르탕-디라크 구조의 프레시마플렉틱 실현이 정확히 군가치 운동량 맵을 갖는 준해밀토니안 H-공간과 동치임을 보인다.
• 변환 군oids H ⋉ H 가 자연스럽게 비틀림이 있는 프레시마플렉틱 구조를 지닌다는 것을 보이며, 이를 통합하여 더블 D(H)와 AMM 군oids를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폐포 3형식 φ에 의해 비틀림이 주어진 경우, 파울슨 구조와 심플렉틱 군oids 사이의 대응을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 리 군oids 위의 승법적 2형식이 기저 다변수 위의 φ-비틀림 Dirac 구조를 유도하기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ3 준해밀토니안 H-공간과 군가치 운동량 맵은 비틀림이 있는 프레시마플렉틱 군oids와 카르탕-디라크 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 φ-비틀림 쿠르앙 브라켓은 군oids 위의 승법적 2형식을 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 정규 Dirac 구조의 분류 클래스가 적분 가능할 조건은 무엇이며, 이는 단순주기군과 임계주기와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 기저 다변수 M 위의 원천-단순연결된 φ-비틀림 프레시마플렉틱 군oids와 M 위의 φ-비틀림 Dirac 구조 사이의 전단사 대응이 확립된다.
• 상대적으로 φ-폐포된 군oids 위의 승법적 2형식은 정확히 φ-비틀림 쿠르앙 브라켓에 대해 대수적 조건과 미분적 조건을 만족하는 리 대수의 사상 A → T*M로 표현된다.
• 리 군 H의 공액 작용에 관련된 전환 군oids H ⋉ H 는 자연스럽게 비틀림이 있는 프레시마플렉틱 구조를 지닌다. 이는 H 위의 카르탕-디라크 구조를 통합한다.
• 카르탕-디라크 구조의 프레시마플렉틱 실현은 군가치 운동량 맵을 갖는 준해밀토니안 H-공간과 동치이며, 실현 사상은 운동량 맵에 해당한다.
• φ-비틀림 정규 Dirac 구조의 분류 클래스 c(L,φ)는 c(L,φ) = c(L) + [φ̄] 를 만족하며, [φ̄] 가 H²(F;ν*)에서 0이면 G(L,φ) ≅ G(L) 이며, 이에 따라 비틀림이 있는 형식이 ω_L + pr*ω_ψ 로 매핑된다.
• c(L)의 적분 가능성은 c(L)의 모든 임계주기의 영향과 모든 단순주기군 N_x(L)의 영향과 동치이다.