[논문 리뷰] Integration with respect to model-free price paths with jumps

Rafał M. Łochowski|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 25.

Economic theories and models참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 점프를 포함하는 점프가 있는 càdlàg 가격 경로에 대해 적응형, càglàd 전략 $ G $ 에 대해 경로에 따라 정의된 확률적 적분 $ G \cdot S $ 를 제안한다. 점프의 성장 조건이 약간의 조건을 만족할 경우에 해당 적분은 단순 적분의 극한으로 정의되며, 특정 반마르팅게일 또는 확률 모델을 가정하지 않아도 되므로 모델에 종속되지 않는 통합을 가능하게 하며, 점프 과정으로의 경로 기반 적분을 확장한다.

ABSTRACT

For every adapted, càglàd process (strategy) $G$ and typical càdlàg price paths whose jumps satisfy some mild growth condition we define integral $G\cdot S$ as a limit of simple integrals.

연구 동기 및 목표

• 반마르팅게일 또는 확률적 가정 없이 점프가 있는 가격 경로로의 경로 기반 확률적 적분을 확장한다.
• 가격 과정 $ S $ 가 càdlàg 이고 점프가 제어 가능한 성장 조건을 만족할 경우, 적응형, càglàd 전략 $ G $ 에 대해 의미 있는 적분 $ G \cdot S $ 를 정의한다.
• 불연속적인 가격 움직임을 포함하는 시장에서 모델에 종속되지 않는 엄밀한 확률적 적분 프레임워크를 구축한다.
• 일반적으로 연속 경로 또는 반마르팅게일 구조를 가정하는 기존의 경로 기반 적분 이론을 점프 과정으로 일반화한다.

제안 방법

• 적응형 càglàd 전략 $ G $ 를 근사하는 단순 전략으로부터 구성된 리만-스티엘티jes 합의 극한으로서 적분 $ G \cdot S $ 를 정의한다.
• 가격 경로 $ S $ 의 càdlàg 성질을 이용하여 단순 적분의 수렴에 대한 규칙성을 확보한다.
• S의 점프에 대해 약간의 성장 조건을 도입하여 변동성을 제어하고 적분의 수렴을 보장한다.
• 확률적 가정을 피하고 샘플 경로의 규칙성과 근사에만 의존하여 경로 기반 기법을 적용한다.
• G의 càglàd 성질을 활용하여 S의 점프 구조와의 예측 가능성과 호환성을 확보한다.
• 점프의 성장 조건에 따라 균일하거나 국소적인 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점프를 포함하는 가격 경로에 대해 전략에 대해 일致하는 경로 기반 확률적 적분을 정의할 수 있는가?
• RQ2 가격 경로의 점프 행동에 어떤 조건이 가격 경로의 단순 적분 근사의 수렴을 보장하는가?
• RQ3 연속 경로를 초월하여 càdlàg 가격 과정의 점프를 포함하는 모델에 종속되지 않는 통합을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 S가 반마르팅게일이거나 확률 측도를 특정하지 않아도 $ G \cdot S $ 를 정의할 수 있는가?
• RQ5 전략 $ G $ 와 가격 경로 $ S $ 에 어떤 규칙성 조건이 적분의 극한으로서 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 모든 적응형, càglàd 전략 $ G $ 와 점프가 약간의 성장 조건을 만족하는 모든 càdlàg 가격 경로 $ S $ 에 대해 적분 $ G \cdot S $ 는 단순 적분의 극한으로 존재한다.
• 이 구성은 순수하게 경로 기반이며, 확률 측도나 반마르팅게일 구조를 필요로 하지 않아 모델에 종속되지 않는 분석을 가능하게 한다.
• 점프로 인한 유계가 아닌 변동성조차도 점프 성장 조건이 제어될 경우 적분은 잘 정의된다.
• G의 càglàd 성질은 S의 점프 시간과의 호환성을 보장하여 근사 방법의 수렴을 촉진한다.
• 이 방법은 기존의 경로 기반 적분 이론을 점프 과정으로 일반화하여 모델에 종속되지 않는 확률적 해석학의 범위를 확장한다.
• 이 프레임워크는 확률적 가정 없이 불연속적인 가격 움직임을 포함하는 시장에서 무위험 가격 결정 및 헤징 이론의 개발을 지원한다.