[논문 리뷰] Interacting Hopf Algebras: the theory of linear systems

Fabio Zanasi|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 04.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 77인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 체 k 상의 선형 부분공간에 대한 완전한 등식 이론을 제공하는 고유한 범주론적 프레임워크인 상호작용 힉프 대수(IH)를 소개한다. 이는 힉프 대수 간의 분배법칙에서 유도된 생성자와 관계를 통해 이루어진다. 주요 기여는 선형 대수학과 신호 흐름 그래프를 위한 타당하고 완전한 스트링 다이어그램 계산 체계를 제공함으로써 조합적 추론을 가능하게 하고, 실행 가능한 형태로의 재작성을 통한 운영적 및 의미론적 동치성을 보장하는 실현 가능성 정리(realisability theorem)를 확립하는 것이다.

ABSTRACT

As first main contribution, this thesis characterises the PROP SVk of linear subspaces over a field k - an important domain of interpretation for circuit diagrams appearing in diverse research areas. We present by generators and equations the PROP IH of string diagrams whose free model is SVk. IH stands for interacting Hopf algebras: its equations arise by distributive laws between Hopf algebras, which we obtain using Lack's technique for composing PROPs. The significance of the result is two-fold. First, it offers a canonical diagrammatic syntax for linear algebra: linear maps, kernels, subspaces, etc... are all faithfully represented in the graphical language. Second, the equations of IH describe familiar algebraic structures - Hopf algebras and Frobenius algebras - which are at the heart of graphical formalisms as seemingly diverse as quantum circuits, signal flow graphs, simple electrical circuits and Petri nets. Our characterisation enlightens the provenance of these axioms and reveals their linear algebraic nature. Our second main contribution is an application of IH to the semantics of signal processing circuits. We develop a formal theory of signal flow graphs, featuring a diagrammatic circuit syntax, a structural operational semantics and a denotational semantics. We prove completeness of the equations of IH for denotational equivalence. Also, we study full abstraction: it turns out that the purely operational picture is too concrete - two denotationally equal graphs may exhibit different operational behaviour. We classify the ways in which this can occur and show that any graph can be realised - rewritten, using the equations of IH, into an executable form where the operational behaviour and the denotation coincide. This realisability theorem suggests a reflection about the role of causality in the semantics of signal flow graphs and, more generally, of computing devices.

연구 동기 및 목표

• 선형 사상, 부분공간, 핵 등을 정확히 표현하는 표준적인 다이어그램 문법을 개발하는 것.
• 생성자와 등식을 사용하여 선형 부분공간의 프롭(SVk)을 특성화함으로써 다양한 네트워크 기반 형식론의 기초 형식론을 제공하는 것.
• 스트링 다이어그램을 사용하여 신호 흐름 그래프의 조합적 의미론을 수립하고, 등식 이론의 타당성과 완전성을 증명하는 것.
• 신호 흐름 그래프의 운영적 의미론과 의미론적 의미론 사이의 괴리를 해결하기 위해, 다이어그램을 실행 가능한 형태로 재작성하는 실현 가능성 정리를 도입하는 것.
• 다양한 그래픽 형식론(예: 양자 회로, 페트리 넷 등)이 공통된 기초적인 구조인 상호작용 힉프 대수에서 유래됨을 보여줌으로써, 널리 쓰이는 그래픽 형식론의 대수적 기원을 드러내는 것.

제안 방법

• 힉프 대수와 프로비우스 대수 간의 분배법칙을 이용한 레이크의 기법을 통해 프롭 IH를 구성한다.
• 스트링 다이어그램을 IH의 화살표로 정의하며, 복제, 삭제, 쌍대곱, 곱셈 연산을 위한 생성자를 제공한다.
• IH의 등식 이론을 사용하여 선형 부분공간을 공리화함으로써, 모든 타당한 선형 대수학적 항등식이 유도 가능하도록 보장한다.
• 신호 흐름 그래프를 IH의 일부로 형식화하고, 그래프 재작성 기반의 구조적 운영 의미론을 정의한다.
• 의미론적 의미론을 IH에서 벡터 공간과 선형 사상의 범주로의 함자로 정의한다.
• IH의 등식이 의미론적 동치성에 대해 타당하고 완전하며, 정규형 재작성을 통한 실현 가능성 정리를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체 k 상의 선형 부분공간의 프롭에 대해 완전하고 표준적인 등식 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 스트링 다이어그램은 핵, 상사상, 선형 사상과 같은 선형 대수학적 구조를 어떻게 정확히 표현할 수 있는가?
• RQ3 IH의 등식이 다양한 그래픽 형식론(예: 신호 흐름 그래프, 양자 회로, 페트리 넷 등)의 기초가 되는 대수적 구조를 어느 정도 포괄하는가?
• RQ4 왜 신호 흐름 그래프의 운영적 의미론과 의미론적 의미론이 때로 다름을 보이며, 이 격차는 어떻게 해소할 수 있는가?
• RQ5 모든 신호 흐름 그래프는 운영적으로 실행 가능한 형태로 변환되어 행동과 의미가 일치하는가?

주요 결과

• 상호작용 힉프 대수로 생성된 프롭 IH는 체 k 상의 선형 부분공간 범주에 대한 완전한 등식 공리화를 제공한다.
• IH의 등식 이론은 신호 흐름 그래프의 의미론적 동치성에 대해 타당하고 완전하며, 두 다이어그램이 의미론적으로 동치임은 오직 서로로부터 등식적으로 유도 가능할 때에만 성립한다.
• 실현 가능성 정리는 임의의 신호 흐름 그래프가 IH의 등식을 사용하여 정규형으로 재작성될 수 있음을 보장하며, 이 경우 운영적 행동과 의미론적 의미가 일치한다.
• 이 프레임워크는 신호 흐름 그래프, 양자 회로, 페트리 넷 등 서로 다른 것으로 보이는 형식론이 모두 동일한 기초 대수적 구조인 상호작용 힉프 대수의 사례임을 드러낸다.
• 이 연구는 인과성이 신호 흐름 그래프에서 기초적인 성질이 아니라 정규형 구성에서 유도된 성질임을 보여준다.
• 이 작업는 선형 시스템에 대한 범주론적 기초를 제공하며, 고유한 등식 이론에 기반한 범주론과 프롭을 사용하여 다양한 다이어그램 형식론을 통합한다.