[논문 리뷰] Intermediate Disorder Regime for 1+1 Dimensional Directed Polymers

Tom Alberts, Konstantin Khanin외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 20.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 1+1차원 방향성 폴리머에 대해 $β_n = \beta n^{-1/4}$로 역온도를 스케일링하여 약한 질서와 강한 질서 사이의 중간 질서 영역을 제안한다. 이로 인해 약한 질서와 강한 질서와는 다릅니다. 비슷한 확률적 걷기의 변동 지수($ζ = 1/2$, $χ = 0$)를 보이지만, 폴리머 측도는 질서의 영향을 받는 비자기 평균적 변동을 보이며, 정상 과도 과도 분포와 GUE Tracy-Widom 한계를 가진 정상 과도 과도 과정에서 기인하는 무작위 절연 측도로 수렴한다.

ABSTRACT

We introduce a new disorder regime for directed polymers in dimension $1+1$ that sits between the weak and strong disorder regimes. We call it the intermediate disorder regime. It is accessed by scaling the inverse temperature parameter $\beta$ to zero as the polymer length $n$ tends to infinity. The natural choice of scaling is $\beta_n:=\beta n^{-1/4}$. We show that the polymer measure under this scaling has previously unseen behavior. While the fluctuation exponents of the polymer endpoint and the log partition function are identical to those for simple random walk ($\zeta=1/2,\chi=0$), the fluctuations themselves are different. These fluctuations are still influenced by the random environment, and there is no self-averaging of the polymer measure. In particular, the random distribution of the polymer endpoint converges in law (under a diffusive scaling of space) to a random absolutely continuous measure on the real line. The randomness of the measure is inherited from a stationary process $A_{\beta}$ that has the recently discovered crossover distributions as its one-point marginals, which for large $\beta$ become the GUE Tracy-Widom distribution. We also prove existence of a limiting law for the four-parameter field of polymer transition probabilities that can be described by the stochastic heat equation. In particular, in this weak noise limit, we obtain the convergence of the point-to-point free energy fluctuations to the GUE Tracy-Widom distribution. We emphasize that the scaling behaviour obtained is universal and does not depend on the law of the disorder.

연구 동기 및 목표

• 1+1차원 방향성 폴리머에서 약한 질서와 강한 질서 사이의 새로운 질서 영역을 규명하는 것.
• 약한 노이즈 스케일링 $\beta_n = \beta n^{-1/4}$ 하에서 폴리머 측도의 스케일링 극한을 분석하는 것.
• 폴리머 끝점의 극한 분포와 무작위 환경에 대한 의존성의 특성화.
• 폴리머 전이 확률의 네 파라미터 필드에 대한 극한 법칙 존재를 확립하는 것.
• 약한 노이즈 극한에서 점에서 점으로 이격된 자유 에너지 변동이 GUE Tracy-Widom 분포로 수렴함을 증명하는 것.

제안 방법

• 중간 질서 영역에 도달하기 위해 $\beta_n = \beta n^{-1/4}$ 스케일링을 도입하여 약한 질서와 강한 질서를 연결한다.
• 확산 스케일링된 폴리머 끝점 측도를 분석하고, 이가 $\mathbb{R}$ 위의 무작위 절연 측도로 법적으로 수렴함을 보인다.
• 무작위성의 근원으로서 한계 끝점 측도의 무작위성은 과도 분포 한계를 가진 정상 과도 과도 과정 $A_\beta$로 기술된다.
• 폴리머 전이 확률 필드의 수렴을 스토하스틱 열 방정식의 해로 확립한다.
• 기존의 과도 및 Tracy-Widom 분포 결과를 활용하여 극한 자유 에너지 변동을 식별한다.
• 특정 질서 법칙에 관계없이 스케일링 행동의 보편성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역온도가 $\beta_n = \beta n^{-1/4}$로 스케일링될 때 1+1차원에서 방향성 폴리머는 어떻게 되는가?
• RQ2 이 중간 영역에서 폴리머 끝점과 로그 분할 함수의 변동은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 폴리머 측도는 자가 평균화되는가, 아니면 무작위 환경의 영향을 계속 받는가?
• RQ4 확산 스케일링 하에서 폴리머 전이 확률 필드의 극한 법칙은 무엇인가?
• RQ5 이 영역에서 점에서 점으로 이격된 자유 에너지 변동은 GUE Tracy-Widom 분포로 수렴하는가?

주요 결과

• 폴리머 끝점과 로그 분할 함수의 변동 지수는 각각 $\zeta = 1/2$와 $\chi = 0$이며, 단순한 랜덤 워크와 일치한다.
• 지수는 일치하지만 변동은 자가 평균화되지 않으며, 여전히 무작위 환경의 영향을 받는다.
• 확산 스케일링된 폴리머 끝점 측도는 $\mathbb{R}$ 위의 무작위 절연 측도로 법적으로 수렴한다.
• 극한 끝점 측도의 무작위성은 한계가 과도 분포인 정상 과도 과도 과정 $A_\beta$에서 기인한다.
• $\beta \to \infty$일 때, $A_\beta$의 한점 한계는 GUE Tracy-Widom 분포로 수렴한다.
• 폴리머 전이 확률의 네 파라미터 필드는 스토하스틱 열 방정식의 해로 수렴하며, 점에서 점으로 이격된 자유 에너지 변동은 GUE Tracy-Widom 분포로 수렴한다.