[논문 리뷰] Internal algebra classifiers as codescent objects of crossed internal categories

Mark Weber|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 37인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 교차 내부 범주(crossed internal categories)의 코드센스 객체(codescent objects)를 사용하여, 특정 내부 대수적 구조를 포함하는 보편적인 환경 구조를 구성하기 위한 매크로 이론적 프레임워크를 제안한다. 이는 Loday와 Fiedorowicz의 교차 심플리셜 군(crossed simplicial groups)을 일반화하며, 비대칭, 대칭, 브레드(braided) 작도들에 대한 다항식 2-모나드를 통해 기존의 구성, 예를 들어 작도로부터 PROP을 복원하는 데 응용된다.

ABSTRACT

Inspired by recent work of Batanin and Berger on the homotopy theory of operads, a general monad-theoretic context for speaking about structures within structures is presented, and the problem of constructing the universal ambient structure containing the prescribed internal structure is studied. Following the work of Lack, these universal objects must be constructed from simplicial objects arising from our monad-theoretic framework, as certain 2-categorical colimits called codescent objects. We isolate the extra structure present on these simplicial objects which enable their codescent objects to be computed. These are the crossed internal categories of the title, and generalise the crossed simplicial groups of Loday and Fiedorowicz. The most general results of this article are concerned with how to compute such codescent objects in 2-categories of internal categories, and on isolating conditions on the monad-theoretic situation which enable these results to apply. Combined with earlier work of the author in which operads are seen as polynomial 2-monads, our results are then applied to the theory of non-symmetric, symmetric and braided operads. In particular, the well-known construction of a PROP from an operad is recovered, as an illustration of our techniques.

연구 동기 및 목표

• 주어진 내부 대수적 구조를 포함하는 보편적인 환경 구조를 구성하기 위한 일반적인 매크로 이론적 맥락을 개발하는 것.
• 환경 구조가 내부 범주들의 2-범주일 때, 그러한 보편적 대상을 체계적으로 구축하는 방법 문제를 다루는 것.
• 교차 심플리셜 군(crossed simplicial groups)의 개념을 교차 내부 범주(crossed internal categories)로 일반화하여, 2-범주에서 코드센스 객체를 계산할 수 있도록 하는 것.
• 특히 다항식 2-모나드를 통해 작도에 적용하여, 작도로부터 얻는 구성, 예를 들어 작도로부터의 PROP을 복원하는 데 이 프레임워크를 적용하는 것.
• 모듈라르 환경의 이론적 기초 문제를 명확히 하며, Costello와 Getzler-Kapranov의 정의 간의 관계를 포함한 모듈라르 작도의 정의에 대한 문제를 다루는 것.

제안 방법

• 2-모나드의 수반 관계를 통해 구성된 심플리셜 대상에서 유래하는 2-범주 내의 내부 범주에서의 코드센스 객체로서 보편적 환경 구조를 공식화하는 것.
• 코드센스 객체의 계산을 가능하게 하는 심플리셜 대상 위의 구조로서 '교차 내부 범주(crossed internal category)'의 개념을 도입하는 것.
• Cat 위의 다항식 2-모나드의 프레임워크를 사용하여 작도를 모델링하며, 비-Σ-자유(non-Σ-free) 작도를 포함하고 내부 대수와의 관계를 설정하는 것.
• 관련된 매크로 이론적 자료를 식별하고 내부 대수 분류자(internal algebra classifier)를 계산하여, 작도로부터의 PROP 구성 복원에 이론을 적용하는 것.
• 코드센스 객체의 2-범주적 코일리미트(coilimit) 구조를 활용하여 보편 대상이 대칭 모나드적 구조와 호환되는 방식으로 내부 대수를 분류함을 보이는 것.
• 대칭 군의 범주에서의 단사-단조성 분해(bijective-monotone factorization)를 활용하여 사상의 동치관계를 분석하고, 보편 구성에서 동치관계가 항등사상으로 압축됨을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 모나드적 범주와 같은 특정 환경 유형 내에서 주어진 내부 대수적 구조를 포함하는 보편적인 환경 2-범주를 어떻게 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 2-범주 내의 심플리셜 대상에 추가로 어떤 구조가 필요하여 그 코드센스 객체를 계산할 수 있으며, 이는 고전적 교차 심플리셜 군을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 교차 내부 범주(crossed internal categories)의 코드센스 객체를 사용하는 매크로 이론적 프레임워크 내에서, 작도로부터의 PROP 구성이 복원될 수 있는가?
• RQ4 내부 대수 분류자가 교차 내부 범주의 코드센스 객체로 나타나기 위해 2-모나드 수반 관계에 어떤 조건이 필요하는가?
• RQ5 매크로 이론적 접근이 Costello와 Getzler-Kapranov의 모듈라르 작도 정의 간의 관계를 어떻게 명확히 하는가?

주요 결과

• 작도 사상 Ass → Com에 대한 내부 대수 분류자는 Σ∆로 식별되며, 이는 단순히 모노이드를 포함하는 자유 대칭 엄격 모나드 범주와 일치하며, 이는 PROP 구성과도 일치한다.
• 유니버설 대상 (Com/Σ)Ass는 교환 엄격 모나드 범주 C와 동형임을 보여주며, 이는 자연수를 객체로 하고, m≠0 이고 n=0 인 경우는 ∅이며, 그 외의 경우는 싱글턴인 사상 집합을 가진다.
• (Com/Σ)Ass의 구성은 내부 범주의 2-범주에서의 코이디피너(coidentifier)로 실현되며, 모든 동치관계가 항등사상으로 압축되는 보편 성질을 갖는다.
• Σ∆의 최대 부분군 범주( maximal subgroupoid )는 대칭 군 범주 P와 일치하며, 유니버설 대상의 기저 범주는 C와 일치한다.
• (Com/Σ)Ass의 대칭 모나드적 구조는 보편 모노이드가 단위 대상 1임을 요구함으로써 유일하게 결정되며, 이는 C의 구조와 일치한다.
• 논문은 임의의 교환 모나드 범주에서의 모노이드는 항상 아이디포텐트임을 증명하며, 비-아이디포텐트 모노이드의 존재가 교환 모나드 범주와의 동치관계를 방해함을 보여준다.