[论文解读] Internal categories, anafunctors and localisations

David Roberts|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用 30

一句话总结

该论文证明，在适当条件下（如站点满足基变换和WISC），anafunctors为2-范畴中内部范畴与群丛在弱等价下的双范畴局部化提供了典范且大小受控的构造。当站点在覆盖下允许基变换并满足WISC时，所得局部化是局部本质上小的，统一并简化了堆叠与高阶范畴理论中既有的构造。

ABSTRACT

In this article we review the theory of anafunctors introduced by Makkai and Bartels, and show that given a subcanonical site S, one can form a bicategorical localisation of various 2-categories of internal categories or groupoids at weak equivalences using anafunctors as 1-arrows. This unifies a number of proofs throughout the literature, using the fewest assumptions possible on S.

研究动机与目标

• 统一并简化堆叠理论中内部范畴与群丛局部化的既有构造。
• 证明anafunctors为双范畴局部化提供了典范且可计算的构造。
• 确立此类局部化为局部本质上小的条件，避免依赖全选择公理。
• 将经典范畴等价结果推广至无选择公理的范畴（如构造性拓扑斯或拓扑站点）中的内部设定。
• 证明在超广延站点中，可通过余积将一般覆盖族简化为单个覆盖，且在anafunctor构造中不失一般性。

提出的方法

• 将anafunctors（源边为全忠实且覆盖对象集的函子对）用作分式bicategory中的1-箭头。
• 应用Pronk的2-范畴分式演算，但将一般对换替换为anafunctors以简化构造。
• 施加基变换条件：对预拓扑中的任意覆盖，存在子2-范畴中对象部分等于该覆盖的全忠实函子。
• 引入WISC（弱初始覆盖集）作为最小大小假设，以确保局部化的局部本质小性。
• 利用超广延站点，通过余积将一般覆盖族替换为单个覆盖，简化预拓扑而不改变所得anafunctor双范畴。
• 利用如下事实：在广延拓扑下，堆叠在通过单个预拓扑 ⨿J 传递时保持不变，从而在堆叠理论应用中实现简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用anafunctors在避免选择公理的前提下，构造内部范畴在弱等价下的局部化？
• RQ2 在何种站点(S, J)条件下，anafunctor双范畴会给出一个局部本质上小的局部化？
• RQ3 超广延站点的结构如何简化anafunctor及其相关局部化的构造？
• RQ4 当基变换与WISC成立时，内部范畴2-范畴在J-等价下的局部化是否与anafunctor双范畴等价？
• RQ5 在超广延站点中，能否将预拓扑替换为单个预拓扑（如覆盖的不相交并）而不改变所得局部化？

主要发现

• 当基变换成立时，anafunctors构成一个行为良好的双范畴Cana(J)，其模型化了内部范畴在J-等价下的局部化。
• 包含映射C → Cana(J)是J-等价类上的局部化，统一并简化了文献中既有的构造。
• 当站点(S, J)满足WISC时，局部化是局部本质上小的，即其同伦范畴与小范畴等价。
• 在超广延站点中，预拓扑可被单个预拓扑 ⨿J（覆盖的不相交并）替代，所得anafunctor双范畴保持等价。
• 对于超广延站点上的弱2-函子，其关联堆叠在从原始预拓扑过渡到 ⨿J 时保持不变，从而简化了堆叠化过程。
• WISC与ZF¬AC独立，因此即使在全选择公理失效的模型（如以满射为覆盖的Set¬AC）中，结果依然成立。