[논문 리뷰] Interpolating between Hausdorff and box dimension

Amlan Banaji|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 30.

Advanced Numerical Analysis Techniques인용 수 1

한 줄 요약

이 학위논문은 Hausdorff 차원과 박스 차원 사이를 해석하는 일반화된 중간 차원을 제안하며, 덮개 집합의 상대적 크기를 매개변수 θ ∈ (0,1)를 통해 제한함으로써 이를 실현한다. Dini 도함수를 사용하여 주어진 함수가 중간 차원으로 실현될 수 있는 필요 및 충분 조건을 증명하고, 무한한 등각 IFS의 극한 집합의 중간 차원이 Hausdorff 차원과 고정점 집합의 차원 중 최댓값에 의해 결정됨을 보이며, Bedford–McMullen 카펫의 중간 차원에 대한 정확한 공식을 유도하여, 이들이 가산적으로 많은 단계 전이를 보이고, bi-Lipschitz 동치는 다중분포 스펙트럼의 일치를 의미함을 밝힌다.

ABSTRACT

Hausdorff and box dimension are two familiar notions of fractal dimension. Box dimension can be larger than Hausdorff dimension, because in the definition of box dimension, all sets in the cover have the same diameter, but for Hausdorff dimension there is no such restriction. This thesis focuses on a family of dimensions parameterised by θ ∈ (0,1), called the intermediate dimensions, which are defined by requiring that diam(U) ⩽ (diam(V))ᶿ for all sets U, V in the cover. We begin by generalising the intermediate dimensions to allow for greater refinement in how the relative sizes of the covering sets are restricted. These new dimensions can recover the interpolation between Hausdorff and box dimension for compact sets whose intermediate dimensions do not tend to the Hausdorff dimension as θ → 0. We also use a Moran set construction to prove a necessary and sufficient condition, in terms of Dini derivatives, for a given function to be realised as the intermediate dimensions of a set. We proceed to prove that the intermediate dimensions of limit sets of infinite conformal iterated function systems are given by the maximum of the Hausdorff dimension of the limit set and the intermediate dimensions of the set of fixed points of the contractions. This applies to sets defined using continued fraction expansions, and has applications to dimensions of projections, fractional Brownian images, and general Hölder images. Finally, we determine a formula for the intermediate dimensions of all self-affine Bedford–McMullen carpets. The functions display features not witnessed in previous examples, such as having countably many phase transitions. We deduce that two carpets have equal intermediate dimensions if and only if the multifractal spectra of the corresponding uniform Bernoulli measures coincide. This shows that if two carpets are bi-Lipschitz equivalent then the multifractal spectra are equal.

연구 동기 및 목표

• fractal 덮개에서 덮개 집합의 상대적 크기 제약을 정교화하여 중간 차원을 일반화한다.
• Dini 도함수를 사용하여 주어진 함수가 컴acts 집합의 중간 차원으로 실현될 수 있는 필요 및 충분 조건을 확립한다.
• 무한한 등각 반복함수계의 극한 집합의 중간 차원을 특성화한다.
• 자기유사 Bedford–McMullen 카펫의 중간 차원에 대한 정확한 공식을 유도하고, 그들의 단계 전이를 분석한다.
• 두 개의 Bedford–McMullen 카펫이 동일한 중간 차원을 가질 필요 및 충분 조건이 그들의 균일 베르누이 측도에 대한 다중분포 스펙트럼이 일치함임을 증명한다.

제안 방법

• 모든 덮개 집합 U, V에 대해 diam(U) ≤ (diam(V))θ 를 요구함으로써, 덮개 집합 크기 비율에 대한 민감한 제어를 가능하게 하는 일반화된 중간 차원의 가족을 도입한다.
• Dini 도함수의 성질과 연결하여 차원 함수의 실현 가능성을 보장하기 위해 Moran 집합 구성 기법을 사용한다.
• 열역학 형식 및 속도 함수 분석 기법을 적용하여 무한한 등각 IFS의 구조물의 중간 차원을 연구한다.
• 균일 베르누이 측도와 관련된 속도 함수의 레이지언 트랜스폼을 사용하여 Bedford–McMullen 카펫의 중간 차원에 대한 명시적 공식을 도출한다.
• 생성 함수의 미분을 통해 두 카펫의 구조를 비교하고, 다중분포 스펙트럼의 일치를 통해 중간 차원의 동치를 규명한다.
• 차원 공식과 매개변수 간의 관계를 대수적 변환을 통해 다루어, 두 카펫 간의 bi-Lipschitz 동치와 다중분포 스펙트럼의 동치가 상호 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 함수들이 컴팩트 집합의 중간 차원으로 나타날 수 있으며, 이러한 실현 가능성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 무한한 등각 반복함수계의 극한 집합에 대해 중간 차원은 어떻게 행동하며, 그 값은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 자기유사 Bedford–McMullen 카펫의 중간 차원은 정확히 어떤 형태를 가지며, θ에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 두 개의 Bedford–McMullen 카펫이 동일한 중간 차원을 가질 필요 및 충분 조건이 그들의 균일 베르누이 측도에 대한 다중분포 스펙트럼이 일치함인가?
• RQ5 두 카펫 간의 bi-Lipschitz 동치와 다중분포 스펙트럼의 동치 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 무한한 등각 IFS의 극한 집합의 중간 차원은 극한 집합의 Hausdorff 차원과 수축 사상의 고정점 집합의 중간 차원 중 최댓값으로 주어진다.
• Bedford–McMullen 카펫의 중간 차원은 (γ⁻¹, 1)에서 실해석적이며, 도함수가 불연속이 되는 가산적인 수의 단계 전이를 보인다.
• 두 개의 Bedford–McMullen 카펫이 동일한 중간 차원을 가질 필요 및 충분 조건은 그들의 균일 베르누이 측도에 대한 다중분포 스펙트럼이 일치함이다.
• 두 Bedford–McMullen 카펫 사이의 bi-Lipschitz 동치는 다중분포 스펙트럼의 일치를 의미하며, 반대로 다중분포 스펙트럼의 일치는 동일한 중간 차원을 의미한다.
• 카펫의 중간 차원 함수는 매개변수 M, M₀, Rᵢ, Nᵢ 및 비율 M′/M에 의해 완전히 결정되며, 단계 전이의 구조는 속도 함수 I(t)에 암묵적으로 포함되어 있다.
• 함수 f(θ)가 컴팩트 집합의 중간 차원이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 f가 연속적이고 증가하며, Dini 도함수가 측도의 속도 함수와 관련된 일정한 성장 제약 조건을 만족해야 한다.