[논문 리뷰] Intersection cuts from multiple rows: a disjunctive programming approach

Egon Balas, Andrea Qualizza|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 07.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 18인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 혼합정수계획법에서 Simplex tableau의 다수 행으로부터 강력한 교차절단을 생성하기 위해 비연결 프로그래밍 접근법을 제안한다. 절단을 q차원 매개변수화된 교차폴리토프와의 교차로 모델링하고, 비연결 헐의 면을 유도함으로써, 기존의 GMI 또는 스플릿 절단보다 더 강력한 절단을 생성한다. 특히 비기본 변수의 정수성 또는 특수한 0-1 비연결을 통해 강화할 경우, 계산 실험에서 최적해 갭을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

We address the issue of generating cutting planes for mixed integer programs from multiple rows of the simplex tableau with the tools of disjunctive programming. A cut from <em>q</em> rows of the simplex tableau is an intersection cuts from a q-dimensional parametric cross-polytope, which can also be viewed as a disjunctive cut from a 2^q-term disjunction. We define the disjunctive hull of the <em>q</em>-row problem, describe its relation to the integer hull, and show how to generate its facets. For the case of binary basic variables, we derive cuts from the stronger disjunctions whose terms are equations. We give cut strengthening procedures using the integrality of the nonbasic variables for both the integer and the binary case. Finally, we discuss some computational experiments.

연구 동기 및 목표

• 비연결 프로그래밍을 이용해 Simplex tableau의 다수 행으로부터 강력한 절단 평면을 체계적으로 생성하는 방법을 개발한다.
• q행 문제의 비연결 헐을 특성화하고, 이를 개선된 절단 생성을 위해 정수 헐과 연관시킨다.
• 일般 정수 및 0-1 케이스 모두에서 비기본 변수의 정수성으로 절단을 강화한다.
• 0-1 케이스에서 더 강력한 절단을 얻기 위해 식기반 비연결을 사용해 본다.
• 제안된 절단의 계산 성능을 혼합정수계획법 인스턴스에서 평가한다.

제안 방법

• q행으로부터 절단을 q차원 매개변수화된 교차폴리토프와의 교차절단으로 공식화한다.
• 2^q개의 다면체 집합에 대응하는 2^q항 비연결에 대응하는 비연결 헐을 정의한다.
• 비연결 프로그래밍의 이중성과 리프팅 기법을 사용해 비연결 헐의 면을 도출한다.
• 각 비연결 항에 비기본 변수의 정수 제약 조건을 통합하여 절단을 강화한다.
• 0-1 변수의 경우, 식(예: πx = π₀ 또는 πx = π₀ + 1)으로 정의된 비연결을 사용해 더 강력한 절단을 도출한다.
• 강화된 절단을 브랜치 앤 컷 프레임워크에 통합하고, MIPLIB 인스턴스에서 성능을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연결 프로그래밍을 어떻게 활용해 전통적인 교차절단 또는 스플릿 절단보다 더 강력한 절단을 다수 Simplex 행으로부터 유도할 수 있는가?
• RQ2 q행 MIP 하위문제에 대한 비연결 헐의 기하학적 및代수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 0-1 케이스에서 식기반 비연결으로부터 도출된 절단은 표준 스플릿 절단에 비해 강도와 계산 성능 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 비기본 변수의 정수성에 의한 절단 강화가 브랜치 앤 컷 알고리즘에서 갭을 얼마나 더 많이 닫는가?
• RQ5 GMI, 삼각형, 콘형 절단과 제안된 강화 절단을 조합했을 때의 경험적 영향은 MIP 해법 시간과 갭 닫힘에 어떤가?

주요 결과

• q행 문제의 비연결 헐은 정수 헐보다 더 날카운 가용해를 제공하여 더 강력한 절단 생성이 가능하다.
• q차원 매개변수화된 교차폴리토프로부터 도출된 절단은 표준 GMI 절단보다 더 강력하며, 특히 강화된 경우 더욱 그렇다.
• 계산 실험에서, GMI, 삼각형, 콘형 절단을 조합한 결과 5라운드 후 평균 최적해 갭을 38.78% 닫았다.
• 0-1 케이스에서 식기반 비연결을 사용함으로써 절단이 크게 강화되었으며, mod011에서 평균 갭 개선률이 최대 184.35%, p0033에서 352.70%에 이르렀다.
• 비기본 변수의 정수성에 의한 절단 강화로 갭을 닫기 위해 필요한 절단 수가 감소했으며, 기준 GMI 절단 대비 평균 갭 닫힘 개선률은 43.61%였다.
• 모든 절단 유형을 조합한 결과, 5라운드 후 평균 갭 닫힘률이 27.24%에 이르렀으며, 모든 테스트 인스턴스에서 개별 절단 전략보다 뛰어난 성능을 보였다.