[논문 리뷰] Intrinsic Approximation on Cantor-like Sets, a Problem of Mahler

Ryan Broderick, Lior Fishman외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 02.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 칸토어 유사 집합에서의 내재 다이오품틴 근사에 대해 딜리클레 유형의 정리를 수립하며, 이러한 집합 내의 모든 점이 분모의 로그에 비례하고 집합의 하우스도르프 차원 $d$ 에 따라 달라지는 비율로 집합 내의 유리수에 의해 근사 가능하다는 것을 증명한다. 핵심 결과는 고전적인 다이오품틴 근사에 대응하는 날카운 근사 함수이지만 분수 기하학에 맞게 조정된 것으로, 유리수의 분포에 대한 가정 하에 이 경계가 최적임을 시사하는 추측이 수반되어 있다.

ABSTRACT

In 1984, Kurt Mahler posed the following fundamental question: How well can irrationals in the Cantor set be approximated by rationals in the Cantor set? Towards development of such a theory, we prove a Dirichlet-type theorem for this intrinsic diophantine approximation on Cantor-like sets, and discuss related possible theorems/conjectures. The resulting approximation function is analogous to that for R^d, but with d being the Hausdorff dimension of the set, and logarithmic dependence on the denominator instead.

연구 동기 및 목표

• 칸토어 유사 집합에서의 내재 다이오풼틴 근사 이론을 구축하여, 근사에 사용되는 유리수가 집합 내에만 존재하도록 제한한다.
• 1984년 쿠르트 마라의 질문에 응답한다: 칸토어 집합 내의 무리수는 그 집합 내의 유리수로 얼마나 잘 근사될 수 있는가?
• 칸토어 유사 집합에 대해 고전적인 다이오품틴 근사에 대응하는 딜리클레 유형의 근사 정리를 수립하며, 이는 하우스도르프 차원 $d$ 를 가진 분수 집합에 맞게 조정된다.
• 분모가 유한한 유리수의 수에 대한 날카운 경계를 추측하여, 이 근사 결과의 최적성의 가능성을 제기한다.
• 외재적 근사, 즉 칸토어 집합의 점들이 집합 외부의 유리수에 의해 얼마나 잘 근사되는지 탐구하고, 이를 측도 이론적 성질과 연결한다.

제안 방법

• 칸토어 유사 집합 $C$ 는 $[0,1]$ 내에서 숫자 집합 $S \subset \{0,1,\dots,b-1\}$ 에서만 숫자를 사용하는 $b$-진 전개를 가진 수들의 집합으로 정의한다. 여기서 $|S| = a > 1$ 이다.
• 집합 $C$ 가 $x \mapsto \{b_0 x\}$ 에 대해 불변이 되는 최소 정수 $b_0 > 1$ 을 도입한다. 이는 일반적으로 $b$ 와 같지만 특수한 경우를 제외하고는 같다.
• 정리 2.1을 증명한다: 모든 $x \in C$ 와 $Q = b^n$ 에 대해, $q \leq b_0^{Q^d}$ 를 만족하는 $p/q \in \mathbb{Q} \cap C$ 가 존재하여 $|x - p/q| < 1/(qQ)$ 를 만족한다. 여기서 $d = \dim C$ 이다.
• 계량 2.2를 유도한다: 모든 $x \in C$ 에 대해, $|x - p/q| < 1/(q (\log_{b_0} q)^{1/d})$ 를 만족하는 무한히 많은 $p/q \in C$ 가 존재한다.
• 집합 $C$ 내의 유리수를, $S$ 에서의 숫자를 사용하는 $b$-진 전개에서 결국 반복되는 전개를 가진 유리수로 특성화하며, 분모에 $b^{k+l} - b^k$ 를 포함하는 공식을 사용한다.
• 추측 3.3을 제안한다: 분모가 $[3^n, 3^{n+1})$ 에 속하는 기약 분수의 수는 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 $O(2^{(1+\epsilon)n})$ 의 비율로 증가한다. 이는 표본 1의 수치적 증거에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칸토어 집합 내의 점들이 칸토어 집합 내의 유리수에 의해 근사될 수 있는 최적의 비율은 무엇인가?
• RQ2 칸토어 유사 집합의 하우스도르프 차원 $d$ 는 내재 다이오품틴 근사에서 근사 함수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 분모가 유한한 기약 분수의 수를 어떻게 제한할 수 있으며, 이는 근사 결과의 날카운성의 확인에 기여하는가?
• RQ4 내재 근사 하에서 칸토어 집합 내의 매우 잘 근사 가능한 점들의 집합의 측도 이론적 성질은 어떠한가?
• RQ5 외재적 근사—즉, 칸토어 집합의 점들이 집합 외부의 유리수에 의해 근사되는 경우—는 측도와 조밀도 측면에서 내재 근사와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 논문은 칸토어 유사 집합에서의 내재 근사에 대해 딜리클레 유형의 정리를 수립하며, 임의의 $x \in C$ 와 $Q = b^n$ 에 대해, $q \leq b_0^{Q^d}$ 를 만족하는 $p/q \in \mathbb{Q} \cap C$ 가 존재하여 $|x - p/q| < 1/(qQ)$ 를 만족함을 보였다.
• 계량 2.2는 모든 $x \in C$ 에 대해, $|x - p/q| < 1/(q (\log_{b_0} q)^{1/d})$ 를 만족하는 무한히 많은 $p/q \in C$ 가 존재함을 보여주며, 이는 고전적인 딜리클레 결과를 분수 집합으로 일반화한다.
• 근사 함수는 집합의 하우스도르프 차원 $d$ 에 따라 달라지며, 분모에 대한 로그적 의존성을 보이며, 이는 근사 대상의 분수적 성질을 반영한다.
• 추측 3.3은 분모가 $[3^n, 3^{n+1})$ 에 속하는 기약 분수의 수가 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 $O(2^{(1+\epsilon)n})$ 의 비율로 증가한다고 주장한다. 이는 표본 1의 수치적 증거에 기반한다.
• 추측 3.3 하에, 계량 3.4는 칸토어 집합 내의 매우 잘 근사 가능한 점들의 집합이 $d$-차원 하우스도르프 측도를 0으로 가지며, 이는 칸토어 집합의 일반적인 점들이 매우 잘 근사 가능하지 않음을 시사한다.
• 외재적 근사에 대해, 추측 4.1(추측 3.3의 약한 형태)은 칸토어 집합 내에서 외부의 유리수에 의해 잘 근사 가능한 점들의 집합이 전체 $d$-차원 하우스도르프 측도를 가짐을 시사한다.