[논문 리뷰] Intrinsic volumes of Sobolev balls

Zakhar Kabluchko, Dmitry Zaporozhets|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 24.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 12인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 내 무한차원 소보레프 유형 볼의 내재 체적을 수도코프의 공식을 사용하여 계산하며, 이를 이소노르말 가우시안 과정과 연결한다. [0,1]에서 리프시츠 연속이거나 적분이 0인 함수에 대해 k번째 내재 체적의 정확한 공식을 유도하고, 브라운 운동 및 브라운 브리지에 의해 생성된 볼록 hull과 조노이드의 기대 체적을 계산하는 데 응용한다. 엘단의 결과를 새롭게 증명하고, 브라운 브리지로 확장한다.

ABSTRACT

A formula due to Sudakov relates the first intrinsic volume of a convex set in a Hilbert space to the maximum of the isonormal Gaussian process over this set. Using this formula we compute the first intrinsic volumes of infinite-dimensional convex compact sets including unit balls with respect to Sobolev-type seminorms and ellipsoids in the Hilbert space. We relate the distribution of the random one-dimensional projections of these sets to the distributions $S_1,S_2,C_1,C_2$ studied by Biane, Pitman, Yor [Bull. AMS 38 (2001)]. We show that the $k$-th intrinsic volume of the set of all functions on $[0,1]$ which have Lipschitz constant bounded by $1$ and which vanish at $0$ (respectively, which have vanishing integral) is given by $$ V_k = \frac{\pi^{k/2}}{\Gamma\left(\frac 32 k +1 ight)}, ext{ respectively } V_k = \frac{\pi^{(k+1)/2}}{2\Gamma\left(\frac 32 k +\frac 32 ight)}. $$ This is related to the results of Gao and Vitale [Discrete Comput. Geom. 26 (2001), Elect. Comm. Probab. 8 (2003)] who considered a similar question for functions with a restriction on the total variation instead of the Lipschitz constant. Using the results of Gao and Vitale we give a new proof of the formula for the expected volume of the convex hull of the $d$-dimensional Brownian motion which is due to Eldan [Elect. J. Probab., to appear]. Additionally, we prove an analogue of Eldan's result for the Brownian bridge. Similarly, we show that the results on the intrinsic volumes of the Lipschitz balls can be translated into formulae for the expected volumes of zonoids (Aumann integrals) generated by the Brownian motion and the Brownian bridge. Also, these results have discrete versions for Gaussian random walks and bridges. Our proofs exploit Sudakov's and Tsirelson's theorems which establish a connection between the intrinsic volumes and the isonormal Gaussian process.

연구 동기 및 목표

• 소보레프 유형 반노름으로 정의된 무한차원 볼록 컴acts 집합의 내재 체적을 계산하는 것.
• 이 집합들의 일차원 투영의 분포를 비애네-피트만-요르 분포 S₁, S₂, C₁, C₂와 연결하는 것.
• [0,1]에서 리프시츠 연속성과 적분이 0인 함수 공간의 k번째 내재 체적에 대한 명시적 공식을 도출하는 것.
• 이 결과들을 브라운 운동 및 브라운 브리지에 의해 생성된 볼록 hull과 조노이드의 기대 체적을 계산하는 데 응용하는 것.
• d차원 브라운 운동의 볼록 hull 기대 체적에 대한 엘단의 공식을 새로운 방식으로 증명하고, 이를 브라운 브리지로 확장하는 것.

제안 방법

• 힐베르트 공간 내 볼록 집합의 첫 번째 내재 체적을 이소노르말 가우시안 과정이 집합 위에서 최대값과 연결하기 위해 수도코프의 공식을 사용한다.
• 내재 체적과 가우시안 과정의 분포적 성질을 연결하기 위해 츄레르손의 정리를 적용한다.
• 이소노르말 가우시안 과정을 사용해 투영을 분석하고, 소보레프 볼의 체적 공식을 도출한다.
• 감마 함수 항등식을 활용해 리프시츠 및 적분이 0인 함수 집합의 k번째 내재 체적에 대한 정확한 표현을 유도한다.
• 내재 체적에 대한 결과를 Aumann 적분 형태의 조노이드(존오이드)의 기대 체적 공식으로 변환한다. 브라운 운동 및 브리지 경로에 대해 적용한다.
• 유사한 체적 계산을 통해 이론을 이산 설정, 즉 가우시안 랜덤 워크 및 브리지로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구간 [0,1]에서 유계 리프시츠 상수를 갖는 소보레프 공간의 단위 볼의 내재 체적은 무엇인가?
• RQ2 적분이 0인 함수의 집합의 내재 체적은 리프시츠 상수가 유계인 집합의 그것과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 이소노르말 가우시안 과정과 수도코프의 공식을 사용해 소보레프 유형 볼의 내재 체적을 계산할 수 있는가?
• RQ4 d차원 브라운 운동의 볼록 hull의 기대 체적은 얼마이며, 내재 체적 기법을 통해 재증명할 수 있는가?
• RQ5 브라운 브리지에 의해 생성된 조노이드의 기대 체적은 얼마이며, 브라운 운동의 경우와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 0에서 0이 되는 [0,1]에서 1-리프시츠 연속 함수의 집합의 k번째 내재 체적은 $ V_k = \frac{\pi^{k/2}}{\Gamma\left(\frac{3}{2}k + 1\right)} $ 로 주어진다.
• 적분이 0이고 리프시츠 상수가 유계인 [0,1]에서의 함수 집합의 k번째 내재 체적은 $ V_k = \frac{\pi^{(k+1)/2}}{2\Gamma\left(\frac{3}{2}k + \frac{3}{2}\right)} $ 로 주어진다.
• 이 소보레프 볼의 일차원 투영의 분포는 비애네-피트만-요르 분포 S₁, S₂, C₁, C₂와 일치한다.
• 결과들은 엘단의 공식에 대한 기존의 증명을 새롭게 제공한다. 즉, d차원 브라운 운동의 볼록 hull 기대 체적에 대한 것이다.
• 브라운 브리지에 의해 생성된 조노이드의 기대 체적에 대한 유사한 공식이 도출되었으며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 이산적 유사체로써 가우시안 랜덤 워크 및 브리지에 대해 유사한 체적 스케일링 행동이 유지됨을 보였다.