[论文解读] Introduction to a provisional mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用 22

一句话总结

本文通过上同调群与卷积积，提出了一种3D $\mathcal{N}=4$ 超对称 gauge 理论中 Coulomb 丛的临时数学定义，利用上同调群与卷积积构造了交换坐标环 $$\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$$ 及其非交换形变 $\mathcal{A}_\hbar$，即量子化 Coulomb 丛。关键结果为 $\mathcal{M}_C$ 与 $T^*T^\vee/W$ 之间存在双有理等价，且通过正规性与平坦可积系统确认了其结构，尤其在有限型与仿射型 $A$-型 quiver 情况下成立。

ABSTRACT

This is an introduction to a provisional mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ supersymmetric gauge theories, studied in arXiv:1503.03676, arXiv:1601.03586. This is an expanded version of an article arXiv:1612.09014 appeared in the 61st DAISUUGAKU symposium proceeding (2016), written originally in Japanese.

研究动机与目标

• 为3D $\mathcal{N}=4$ gauge 理论中的 Coulomb 丛提供一个严格的数学构造，其出发点源于物理预期。
• 将 Coulomb 丛 $\mathcal{M}_C(G,\mathbf{M})$ 定义为具有卷积积的上同调群的谱，推广已知的代数构造。
• 同时构造一个非交换形变 $\mathcal{A}_\hbar$，即量子化 Coulomb 丛，其经典极限可恢复 $\mathcal{M}_C$。
• 通过可积系统与局部化定理，证明 $\mathcal{M}_C$ 是正规的，且与 $T^*T^\vee/W$ 双有理等价。
• 通过 bow 丛与 instanton 模空间，在关键情形（包括有限型与仿射型 $A$-型 quiver）下验证该构造。

提出的方法

• 将坐标环 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ 构造为某一空间的上同调群，其上配备卷积积，灵感来自几何表示论。
• 将量子化 Coulomb 丛 $\mathcal{A}_\hbar$ 定义为 $\mathbb{C}[\hbar]$ 上的非交换代数，通过 $\hbar=0$ 处的 Poisson 李括号对 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ 进行形变。
• 利用等变上同调中的局部化定理，建立 $\mathcal{M}_C$ 与 $T^*T^\vee/W$ 之间的双有理同构。
• 通过证明候选可积系统上的平坦性，验证 $\mathcal{M}_C$ 的正规性，从而在余维数2的补集上推出同构。
• 在仿射型 $A$-型 quiver 情形下，用 Cherkis bow 丛替代 instanton 模空间，将其重述为带有关系的 quiver 表示模空间，以证明平坦性。
• 利用几何 Satake 对应与仿射 Grassmannian 中的 Schubert 丛，将 $\mathcal{M}_C$ 描述为切片的交集。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在物理起源的背景下，为3D $\mathcal{N}=4$ gauge 理论中的 Coulomb 丛建立一个数学定义？
• RQ2 卷积积在上同调群中在定义坐标环 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ 时起到什么作用？
• RQ3 在何种条件下，量子化 Coulomb 丛 $\mathcal{A}_\hbar$ 同构于已知代数（如平移 Yangian 或球面 DAHA）？
• RQ4 为何 $\mathcal{M}_C$ 的正规性具有重要意义？在缺乏辛约化描述的情况下，如何建立其正规性？
• RQ5 Coulomb 丛能否与 $\mathbb{R}^4$ 或 Taub-NUT 空间上的 instanton 模空间相等同？在何种条件下成立？

主要发现

• Coulomb 丛 $\mathcal{M}_C(G,\mathbf{M})$ 被构造为具有卷积积的上同调群的谱，提供了一种与商空间或零点集不同的新代数几何构造。
• 量子化 Coulomb 丛 $\mathcal{A}_\hbar(G,\mathbf{M})$ 是 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ 的非交换形变，其 Poisson 李括号在 $\hbar=0$ 处由辛形式诱导。
• 当 $\mathbf{M} = \mathbf{N} \oplus \mathbf{N}^*$ 时，$\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ 上的乘积构造通过 [BFN16a] 得到确立，解决了关键的技术缺口。
• Coulomb 丛与 $T^*T^\vee/W$ 双有理等价，且此双有理类仅依赖于 $G$，而不依赖于表示 $\mathbf{M}$。
• 在仿射型 $A$-型情形下，Coulomb 丛通过 bow 丛与 quiver 表示完全确定，且证明了 $\mathcal{M}_C$ 的正规性。
• 当 $G = \mathrm{GL}(k)$ 且 $W = \mathbb{C}^r$ 时，量子化 Coulomb 丛同构于 $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z} \wr S_k$ 的有理 Cherednik 代数的球面部分，如 [KN16] 所示。