[论文解读] Coulomb branches of $3d$ $\mathcal N=4$ quiver gauge theories and slices in the affine Grassmannian (with appendices by Alexander Braverman, Michael Finkelberg, Joel Kamnitzer, Ryosuke Kodera, Hiraku Nakajima, Ben Webster, and Alex Weekes)

Alexander Braverman, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用 63

一句话总结

本文建立了3D $\mathcal{N}=4$ $ADE$ 型奎弗规范理论的库仑分支与旗流形上基于有理映射的模空间（无框架情形）以及仿射格拉斯曼ian中的截面（框架情形）之间的精确数学同构。通过平坦性准则与因子化性质，证明了库仑分支同构于 $\hat{Z}^\alpha$，即到 $G/B$ 的次数为 $\alpha$ 的基于有理映射的空间，并通过卡姆尼泽等人附录中的结果，将量子化库仑分支识别为截断移位杨代数。

ABSTRACT

This is a companion paper of arXiv:1601.03586. We study Coulomb branches of unframed and framed quiver gauge theories of type $ADE$. In the unframed case they are isomorphic to the moduli space of based rational maps from ${\mathbb C}P^1$ to the flag variety. In the framed case they are slices in the affine Grassmannian and their generalization. In the appendix, written jointly with Joel Kamnitzer, Ryosuke Kodera, Ben Webster, and Alex Weekes, we identify the quantized Coulomb branch with the truncated shifted Yangian.

研究动机与目标

• 为3D $\mathcal{N}=4$ $ADE$ 型奎弗规范理论的库仑分支 $Μ_C$ 提供一个数学上严格的描述。
• 在无框架情形下，建立库仑分支与旗流形 $G/B$ 上基于有理映射模空间之间的同构。
• 将框架库仑分支识别为朗兰兹对偶群的仿射格拉斯曼ian中的截面，推广了早期的物理猜想。
• 证明量子化库仑分支同构于截断移位杨代数，该结论由附录中给出。

提出的方法

• 使用平坦性准则：若一个科恩-麦克aul伊的仿射概形 $Ω$ 扁平映射到 $τ(V)/Ω$，且存在一个在余维数2以下为双正则的双有理同构到 $Μ_C$，则该同构可整体延拓。
• 利用模空间 $\hat{Z}^\alpha$ 的因子化性质，验证双有理映射在超平面上的延拓。
• 利用 $\hat{Z}^\alpha$ 与 $Μ_C$ 均在广义根超平面的补集上双有理同构于 $T^*T(V)^\vee / Ω$ 的事实，构造 $Ω^\circ$ 与 $Μ_C$ 之间的双有理映射。
• 应用该准则，通过因子化方法在超平面的通用点处验证延拓，将问题约化为局部分析。
• 利用仿射格拉斯曼ian的结构与 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上 $G$-丛的几何，将框架库仑分支描述为一个部分紧化。
• 在附录中，通过仿射李代数的表示理论与 $\hat{G}_{\mathcal{O}}$-等变上同调，将量子化库仑分支识别为截断移位杨代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 3D $\mathcal{N}=4$ 奎弗规范理论的库仑分支是否同构于旗流形 $G/B$ 上基于有理映射的模空间？
• RQ2 框架库仑分支能否被识别为朗兰兹对偶群的仿射格拉斯曼ian中的截面？
• RQ3 在框架情形下，量子化库仑分支是否与截断移位杨代数一致？
• RQ4 模空间 $\hat{Z}^\alpha$ 的因子化性质如何实现双有理映射到全局同构的延拓？
• RQ5 库仑分支与 $\mathbb{R}^3$ 上 $G_c$-单极子模空间之间的确切关系为何？

主要发现

• 对于无框架的 $ADE$ 奎弗规范理论，库仑分支 $Μ_C$ 同构于 $\hat{Z}^\alpha$，即 $\mathbb{P}^1 \to G/B$ 的次数为 $\alpha$ 的基于有理映射的模空间，其中 $\alpha$ 由奎弗表示的维数向量决定。
• 在框架情形下，$Μ_C$ 同构于朗兰兹对偶群 $\hat{G}$ 的仿射格拉斯曼ian中的一个截面，推广了早期的物理猜想。
• 量子化库仑分支同构于截断移位杨代数，该结论由附录通过 $\hat{G}_{\mathcal{O}}$-等变上同调与零截面处的限制映射 ${\mathbf{z}}^*$ 建立。
• 通过平坦性准则建立 $\hat{Z}^\alpha$ 与 $Μ_C$ 之间的同构，双有理映射的延拓通过因子化与余维数2分析得以验证。
• 框架库仑分支被证明是 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上抛物框架 $G$-丛模空间的一个部分紧化，前提是满足正规性（目前仅对 $A$ 型已知）。
• 同构的证明依赖于上同调环的 ${\mathbf{t}}$-形变的平凡性，该性质由威耳覆盖性质推出，且依赖于在一般纤维中一个映射的满射性，该满射性通过形变论证建立。