[논문 리뷰] Introduction to the Kalman Filter and Tuning its Statistics for Near Optimal Estimates and Cramer Rao Bound

Shyam Mohan M, Naren Naik외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 14.

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks참고 문헌 51인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 우도 비용 함수를 사용하여 프로세스 및 측정 노이즈 공분산을 반복적으로 조정함으로써 near-optimal 추정치를 달성하는 새로운 기준이 없는 참조적 재귀 조정 방법을 제안한다. 여러 번의 필터 통과를 통해 사전, 사후 및 스무딩 상태를 활용함으로써 이 방법은 통계적 평형에 수렴하며, Cramér-Rao 경계와 일치시켜 시뮬레이션 및 실제 항공우주 응용 분야에서 내부적으로 일관되고 고정밀도의 상태 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This report provides a brief historical evolution of the concepts in the Kalman filtering theory since ancient times to the present. A brief description of the filter equations its aesthetics, beauty, truth, fascinating perspectives and competence are described. For a Kalman filter design to provide optimal estimates tuning of its statistics namely initial state and covariance, unknown parameters, and state and measurement noise covariances is important. The earlier tuning approaches are reviewed. The present approach is a reference recursive recipe based on multiple filter passes through the data without any optimization to reach a `statistical equilibrium' solution. It utilizes the a priori, a posteriori, and smoothed states, their corresponding predicted measurements and the actual measurements help to balance the measurement equation and similarly the state equation to help form a generalized likelihood cost function. The filter covariance at the end of each pass is heuristically scaled up by the number of data points is further trimmed to statistically match the exact estimates and Cramer Rao Bounds (CRBs) available with no process noise provided the initial covariance for subsequent passes. During simulation studies with process noise the matching of the input and estimated noise sequence over time and in real data the generalized cost functions helped to obtain confidence in the results. Simulation studies of a constant signal, a ramp, a spring, mass, damper system with a weak non linear spring constant, longitudinal and lateral motion of an airplane was followed by similar but more involved real airplane data was carried out in MATLAB. In all cases the present approach was shown to provide internally consistent and best possible estimates and their CRBs.

연구 동기 및 목표

• 실제 응용 분야에서 히وري스틱이고 체계적이지 않은 칼만 필터 튜닝 문제를 해결하기 위해.
• 최적화에 의존하지 않고도 반복 가능하고 데이터 기반의 프로세스 및 측정 노이즈 공분산 추정 절차를 개발하기 위해.
• 이론적 Cramér-Rao 경계와 일치시킴으로써 필터 추정치의 내부 일관성을 확보하기 위해.
• 비선형 및 실제 비행 데이터를 포함한 다양한 시스템에 적용 가능한 강력하고 일반적인 튜닝 프레임워크를 제공하기 위해.
• 시뮬레이션과 실제 비행 데이터를 통한 검증을 통해 수렴성과 통계적 신뢰성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 표준 칼만 필터 방정식을 사용하여 데이터를 여러 번 반복적으로 통과시킴으로써 추정치를 점진적으로 개선한다.
• 이노베이션 시퀀스, 예측 측정치 및 실제 측정치를 바탕으로 한 일반화된 우도 비용 함수를 사용하여 통계적 일관성을 평가한다.
• 각 통과의 끝에서 데이터 포인트 수에 따라 필터 공분산을 히وري스틱하게 스케일링하여 통계적 평형에 수렴하는 것을 가속화한다.
• 프로세스 노이즈가 없는 경우, 스케일링된 공분산을 정확한 추정치와 Cramér-Rao 경계에 맞추기 위해 잘라내어 조정한다.
• 사전, 사후 및 스무딩 상태 추정치를 활용하여 반복 과정에서 측정 및 상태 방정식의 균형을 맞춘다.
• 프로세스 노이즈가 존재할 경우 R과 Q를 추정하기 위해 기대-최대화(EM) 방법을 적용하여 강건성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼만 필터 통계치를 최적 성능을 위해 히وري스틱이 아닌 체계적으로 튜닝할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 재귀적이고 최적화 기반이 아닌 방법이 통계적 평형에 도달하고 이론적 Cramér-Rao 경계와 일치시킬 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법은 다양한 필터 상태와 노이즈 추정치 간의 내부 일관성을 어떻게 확보하는가?
• RQ4 이 방법은 선형 및 약간의 비선형 시스템, 특히 실제 비행 데이터에 대해 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ5 알려진 노이즈 통계치가 없는 상황에서 일반화된 우도 비용 함수가 튜닝을 신뢰성 있게 이끌 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 튜닝 방법은 일정 신호, 램프 신호, 스프링-마스-다이어퍼 시스템, 항공기 종방향/횡방향 동역학을 포함한 모든 시험 케이스에서 내부적으로 일관된 추정치를 달성했다.
• 프로세스 노이즈가 있는 시뮬레이션에서, 이 방법은 입력 및 추정 노이즈 시퀀스가 시간에 따라 일치함을 성공적으로 보여주어 강건성을 입증했다.
• 프로세스 노이즈가 없는 시스템의 경우, 최종 필터 공분산이 정확한 추정치와 Cramér-Rao 경계와 일치하여 이론적 최적성의 타당성을 입증했다.
• 일반화된 우도 비용 함수의 사용은 특히 실제 데이터 응용에서 기준값이 없을 경우 결과에 대한 신뢰도를 높였다.
• 이 방법은 시뮬레이션 데이터와 실제 비행 데이터 모두에서 일관된 성능을 보였으며, 전통적인 히وري스틱 튜닝 접근법을 능가했다.
• 재귀적이고 다중 통과 구조는 반복 최적화나 사용자 정의 튜닝 파rameter가 필요 없이 통계적 평형에 수렴하는 데 기여했다.