[논문 리뷰] Invariant conservative difference schemes for shallow water equations in Eulerian and Lagrangian coordinates

В. А. Дородницын, Е. И. Капцов|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 28.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 50인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 저류 지형을 가진 오일러 기준좌표계에서의 1차원 얕은 수면 방정식에 대해 불변 보존 유한차분 스킴을 제시한다. 직접 방법의 유한차분 해석을 사용하여 질량, 운동량, 에너지, 질량중심 보존 법칙을 모두 유지한다. 이 스킴은 균일 직교 격자에서 대칭성과 보존 성질을 유지하며, 댐 붕괴 문제를 통한 수치 검증을 통해 작은 스킴 수정에도 불구하고 뛰어난 에너지 보존 성능을 보였다.

ABSTRACT

The one-dimensional shallow water equations in Eulerian coordinates are considered. Relations between symmetries and conservation laws for the potential form of the equations, and symmetries and conservation laws in Eulerian coordinates are shown. An invariant difference scheme for equations in Eulerian coordinates with arbitrary bottom topography is constructed. It possesses all the finite-difference analogues of the conservation laws. Some bottom topographies require moving meshes in Eulerian coordinates, which are stationary meshes in mass Lagrangian coordinates. The developed invariant conservative difference schemes are verified numerically using examples of flow with various bottom topographies.

연구 동기 및 목표

• 임의의 저류 지형을 가진 오일러 기준좌표계에서의 얕은 수면 방정식에 대해 불변 보존 유한차분 스킴을 개발한다.
• 잠재형으로 표현된 방정식의 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 오일러 변수에 대응하는 형태로 설정한다.
• 구성된 스킴이 질량, 운동량, 에너지, 질량중심 법칙을 포함한 주요 보존 법칙을 모두 유지하도록 보장한다.
• 이전의 라그랑주 좌표계 스킴 연구를 비균일 저류 지형에 적용하여 오일러 기준좌표계로 확장한다.
• 댐 붕괴 문제를 사용하여 스킴을 수치적으로 검증하고 점성 및 무점성 조건에서의 보존 성질을 평가한다.

제안 방법

• 보존 법칙을 계산하고 불변 스킴을 구성하기 위해 직접 방법의 유한차분 해석을 사용한다.
• 리 점 대칭 분석을 적용하여 얕은 수면 방정식의 잠재형에서 대칭성을 식별하고 이를 오일러 변수로 변환한다.
• 균일 직교 격자에 대해 모든 미분 보존 법칙을 유한차분 해석 형태로 유지하는 차분 스킴을 구성한다.
• 세 시간 수준의 형식을 사용하여 보존 성질을 유지하며, 두 시간 수준의 형식은 유체역학 변수로 표현 가능하다.
• 라그랑주 좌표계에서 $ \frac{\check{x}_{ts}}{x_s} $ 비례하는 선형 인공 점성률을 도입하여 수치적 해의 안정성을 향상시킨다.
• 파라볼릭 및 기타 저류 지형을 가진 댐 붕괴 문제를 사용하여 스킴을 수치적으로 검증하고, 에너지 보존 성능과 자유 표면 프로파일을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 저류 지형을 가진 오일러 기준좌표계에서의 얕은 수면 방정식에 대해 불변 보존 유한차분 스킴을 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 잠재형으로 표현된 방정식의 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계는 오일러 변수에 대응하는 형태에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 불변 차분 스킴이 균일 직교 격자에서 질량, 운동량, 에너지, 질량중심을 동시에 보존할 수 있는가?
• RQ4 인공 점성의 유무에 따라 불변 스킴을 사용할 때 댐 붕괴 문제의 수치적 해는 보존 성질 측면에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 불변 스킴의 미세한 수정이 에너지 보존 성능에 미치는 영향은 어느 정도이며, 인공 점성은 이러한 영향에 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 구성된 불변 보존 차분 스킴은 임의의 저류 지형에 대해 균일 직교 격자에서 질량, 운동량, 에너지, 질량중심 보존 법칙을 모두 유지한다.
• 댐 붕괴 문제에 대한 수치 결과는 뛰어난 에너지 보존 성능을 보이며, 그림 15에서 보듯이 에너지 보존 오차 $ |\delta\varepsilon| $ 가 로그 스케일에서 낮게 유지된다.
• 인공 점성( $ \nu = h $ )을 포함시킬 경우 자유 표면 프로파일이 향상되지만, 에너지 보존 성능이 심각하게 악화되어 안정성과 보존성 사이의 상충 관계를 보여준다.
• 심지어 불변 스킴의 미세한 수정이라도 에너지 보존 성능이 심각하게 악화되며, 장기적인 정확성을 확보하기 위해 엄격한 불변성의 중요성을 입증한다.
• 스킴은 라그랑주 및 오일러 형식 모두에 성공적으로 구현되었으며, 다양한 저류 프로파일에서 일관된 보존 성질이 확인되었다.
• 표 LABEL:tab:Htable 및 LABEL:tab:HtableDelta 는 평탄한 지형부터 임의의 저류 지형까지의 모든 경우를 포함하여 오일러 및 라그랑주 차분 스킴의 대칭성과 보존 법칙을 체계적으로 분류하고 있다.