[논문 리뷰] Invariant Cyclic Homology

Masoud Khalkhali, Bahram Rangipour|ArXiv.org|2002. 07. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 호프 대수 $\mathcal{H}$, $\mathcal{H}$-코모듈러 대수 $A$, $\mathcal{H}$-모듈 $M$로 구성된 삼중체 $(A, \mathcal{H}, M)$와 호환되는 군형 원소 $\sigma$를 갖는 경우, 비가환 de Rham 코homology의 비가환적 대응으로서 불변 순환 호몰로지(invariant cyclic homology)를 도입한다. 이 이론은 콘네-모스코비치의 순환 코homology를 일반화하며, 순환 호몰로지 군이 그룹 및 리 대수 호몰로지와 계수를 갖는 것으로 해석될 수 있는 프레임워크를 제공한다. 주요 결과로는, $\mathcal{H}$가 가환일 경우 불변 순환 코homology가 호프 코homology 군들의 직합으로 분해된다는 것이다.

ABSTRACT

We define a noncommutative analogue of invariant de Rham cohomology. More precisely, for a triple $(A,\mathcal{H},M)$ consisting of a Hopf algebra $\mathcal{H}$, an $\mathcal{H}$-comodule algebra $A$, an $\mathcal{H}$-module $M$, and a compatible grouplike element $σ$ in $\mathcal{H}$, we define the cyclic module of invariant chains on $A$ with coefficients in $M$ and call its cyclic homology the invariant cyclic homology of $A$ with coefficients in $M$. We also develop a dual theory for coalgebras. Examples include cyclic cohomology of Hopf algebras defined by Connes-Moscovici and its dual theory. We establish various results and computations including one for the quantum group $SL(q,2)$.

연구 동기 및 목표

• 호프 대수에 대한 불변 de Rham 코homology의 비가환적 대응을 개발하기 위해.
• 기존의 순환 호몰로지 이론들, 특히 콘네-모스코비치의 이론과 [12, 19]의 이론을 통합하고 일반화하기 위해.
• 쌍대 코모듈 모듈의 구성 방식을 통해 대체로 코알제브라(coalgebras)로 이론을 확장하기 위해.
• 그룹 호몰로지와 리 대수 호몰로지와 계수를 갖는 것을 불변 순환 호몰로지의 특수한 경우로 해석하기 위해.
• 특히 $SL_q(2)$와 같은 양자군에 대해 계산 도구를 확립하기 위해.

제안 방법

• $\mathcal{H}$-작용에 대한 파라순환 모듈 $C_n(A,M)$의 코인variants로 불변 순환 체인 $C_n^{\mathcal{H}}(A,M)$를 정의한다.
• $\sigma$-호환 가능한 호프 삼중체 $(A, \mathcal{H}, M)$와 군형 원소 $\sigma$를 도입하여 불변 순환 호몰로지를 정의한다.
• $\delta$-호환 가능한 호프 코삼중체 $(C, \mathcal{H}, V)$를 사용하여 코알제브라에 대한 이론을 이중화한다. 불변 코체인은 파라코코모듈의 코인variants로 정의된다.
• 모듈에 대해 $M_{\mathcal{H}} = k_\delta \otimes_{\mathcal{H}} M$를, 코모듈에 대해 $M^{\text{co}\mathcal{H}} = \text{Hom}_{\mathcal{H}}(k_\sigma, M)$를 사용한다.
• $\delta$-적분 $t$가 존재하고 $\delta(t)$가 가역일 경우, $HC_{\mathcal{H}}^\bullet(C,k)$가 $HC^\bullet(C)$의 직합성분임을 증명한다.
• 가환 $\mathcal{H}$일 경우, $HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},V) \cong \bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}(\mathcal{H},V)$임을 증명하여 불변 순환 코homology를 호프 코호몰로지와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 대수 작용을 통해 불변 de Rham 코호몰로지를 비가환 환경으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 콘네-모스코비치의 호프 대수 순환 코호몰로지는 더 넓은 불변 순환 호몰로지 이론의 특수한 경우로 해석될 수 있는가?
• RQ3 군형 원소와 특성치가 대수와 코알제브라에 대한 불변 순환 모듈을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 호프 대수의 불변 순환 호몰로지가 그 호프 코호몰로지와 그룹 호몰로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 불변 순환 코호몰로지가 코호몰로지 군들의 직합으로 분해되기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 호환 가능한 $\sigma$-호프 삼중체 $(A, \mathcal{H}, M)$의 불변 순환 호몰로지는 $\mathcal{H}$-작용에 대한 파라순환 모듈 $C_n(A,M)$의 코인variants 모듈의 순환 호몰로지로 정의된다.
• $\mathcal{H}$가 코곱을 통한 코작용을 가지는 경우, 불변 순환 모듈 $\widetilde{\mathcal{H}}_n^{(\delta,\sigma)}$는 $\mathcal{H}$의 계수를 갖는 순환 모듈과 동형이다.
• 코알제브라에 대한 이중 이론은 파라코코모듈의 코인variants로 정의된 불변 코체인의 코순환 모듈 $C_{\mathcal{H}}^n(C,V)$를 제공하며, 이는 이론을 이중 설정으로 확장한다.
• $\delta$-적분 $t$가 존재하고 $\delta(t)$가 가역일 경우, $HC_{\mathcal{H}}^\bullet(C,k)$는 $HC^\bullet(C)$의 직합성분이며, 순환 모듈 맵 $\gamma$가 사영의 오른쪽 역함수를 제공한다.
• 가환 $\mathcal{H}$일 경우, 불변 순환 코호몰로지 $HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},V)$는 $\bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}(\mathcal{H},V)$로 분해되며, 여기서 $H^i(\mathcal{H},V)$는 호프 코호몰로지 군이다.
• 복소계 아핀 대수적 군 $G$의 경우, $HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},M) \cong \bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}_{\text{alg}}(G,M)$이며, 이는 이론이 대수적 군 코호몰로지와 연결됨을 보여준다.