[논문 리뷰] Invariant Means

Alan Horwitz|arXiv (Cornell University)|2000. 07. 15.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다변수 대칭 평균에 대해 새로운 불변성 성질인 유형 1 및 유형 2를 도입한다. 엄밀하고 등온성인 두 변수 평균 m이 주어졌을 때, m에 대해 유형 1 불변성을 만족하는 유일한 세 변수 평균 M이 존재함을 증명한다. 마찬가지로, 주어진 세 변수 평균 M에 대해, 유형 2 불변성을 만족하는 유일한 두 변수 평균 m이 존재한다. 로그 평균 L₃는 두 변수 로그 평균 L(a,b)에 대해 유형 1 불변성을 가지지만, 유형 2 불변성은 가지지 않는다.

ABSTRACT

Let m(a,b) and M(a,b,c) be symmetric means. We say that M is type 1 invariant with respect to m if M(m(a,c),m(a,b),m(b,c)) = M(a,b,c) for all a, b, c > 0. If m is strict and isotone, then we show that there exists a unique M which is type 1 invariant with respect to m. In particular we discuss the invariant logarithmic mean L_3, which is type 1 invariant with respect to L(a,b) = (b-a)/(log b-log a). We say that M is type 2 invariant with respect to m if M(a,b,m(a,b)) = m(a,b) for all a, b > 0. We also prove existence and uniqueness results for type 2 invariance, given the mean M(a,b,c). The arithmetic, geometric, and harmonic means in two and three variables satisfy both type 1 and type 2 invariance. There are means m and M such that M is type 2 invariant with respect to m, but not type 1 invariant with respect to m(for example, the Lehmer means). L_3 is type 1 invariant with respect to L, but not type 2 invariant with respect to L.

연구 동기 및 목표

• 두 변수 및 세 변수에 대한 대칭 평균에 대해 새로운 두 가지 불변성 성질인 유형 1 및 유형 2를 정의하고 분석한다.
• 주어진 두 변수 평균 m에 대해, 그것에 대해 세 변수 평균 M이 유형 1 불변성을 만족하는 경우의 존재 조건을 설정한다.
• 주어진 세 변수 평균 M에 대해, 두 변수 평균 m이 유형 2 불변성을 만족하는 조건을 조사한다.
• 고전적 평균—산술, 기하, 조화, 로그, 레이머 평균—과 이러한 불변성 성질 간의 관계를 검토한다.
• 세 변수 로그 평균 L₃가 두 변수 로그 평균 L(a,b)에 대해 둘 다 불변성을 만족하는지 여부를 판단한다.

제안 방법

• 모든 a, b, c > 0에 대해 M(m(a,c), m(a,b), m(b,c)) = M(a,b,c)를 만족하는 것으로 유형 1 불변성을 정의한다.
• 모든 a, b > 0에 대해 M(a,b,m(a,b)) = m(a,b)를 만족하는 것으로 유형 2 불변성을 정의한다.
• 두 변수 평균 m의 엄밀성과 등온성 성질을 이용하여, 유형 1 불변성 조건을 만족하는 세 변수 평균 M의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 유사한 추론을 사용하여, 주어진 세 변수 평균 M에 대해, 유형 2 불변성 조건을 만족하는 평균의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 로그 평균 L(a,b) 및 L₃, 레이머 평균과 같은 특정 평균을 분석하여 불변성 성질을 시험한다.
• 두 불변성 유형에 대한 고전적 평균의 행동을 비교하여, 한 가지는 성립하지만 다른 것은 성립하지 않는 경우를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄밀하고 등온성인 두 변수 평균 m에 대해, 그것에 대해 유형 1 불변성을 만족하는 세 변수 평균 M이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 세 변수 평균 M이 두 변수 평균 m에 대해 유형 2 불변성을 만족할 수 있으며, 그 경우의 유일성은 어떤 조건을 만족해야 하는가?
• RQ3 세 변수 로그 평균 L₃는 두 변수 로그 평균 L(a,b)에 대해 유형 1 불변성을 만족하는가?
• RQ4 세 변수 로그 평균 L₃는 두 변수 로그 평균 L(a,b)에 대해 유형 2 불변성을 만족하는가?
• RQ5 M이 m에 대해 유형 2 불변성을 만족하지만 유형 1 불변성을 만족하지 않는 평균 m과 M가 존재하는가?

주요 결과

• 엄밀하고 등온성인 두 변수 평균 m이 주어지면, 그것에 대해 유형 1 불변성을 만족하는 유일한 세 변수 평균 M이 존재한다.
• 세 변수 로그 평균 L₃는 두 변수 로그 평균 L(a,b) = (b−a)/(log b−log a)에 대해 유형 1 불변성을 만족한다.
• 세 변수 로그 평균 L₃는 두 변수 로그 평균 L(a,b)에 대해 유형 2 불변성을 만족하지 않는다.
• M이 m에 대해 유형 2 불변성을 만족하지만 유형 1 불변성을 만족하지 않는 평균 m과 M가 존재하며, 이는 레이머 평균을 통해 입증된다.
• 산술, 기하, 조화 평균은 두 변수 및 세 변수 모두에서 유형 1 및 유형 2 불변성 성질을 모두 만족한다.