[논문 리뷰] Invariant Measures and Orbit Closures on Homogeneous Spaces for Actions of Subgroups Generated by Unipotent Elements

Nimish A. Shah|arXiv (Cornell University)|2000. 02. 22.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 17인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 리 군의 동차 공간에서 유니포텐트 원소로 생성된 부분군에 대해 Ratner의 유니포텐트 흐름 정리들을 확장한다. $G/\Gamma$ 상에서 유한한 $W$-불변 에르고딕 측도는 동차적이다(닫힌 $H$-오빗에 지지됨), 그리고 이러한 $W$-작용에 의한 오빗 폐쇄는 동차 집합이다—이를 통해 Ratner의 결과를 일파라미터 유니포텐트 부분군을 초월해 더 넓은 대수적 구조로 일반화한다.

ABSTRACT

The theorems of M. Ratner, describing the finite ergodic invariant measures and the orbit closures for unipotent flows on homogeneous spaces of Lie groups, are extended for actions of subgroups generated by unipotent elements. More precisely: Let G be a Lie group (not necessarily connected) and Gamma a closed subgroup of G. Let W be a subgroup of G such that Ad(W) is contained in the Zariski closure (in the group of automorphisms of the Lie algebra of G) of the subgroup generated by the unipotent elements of Ad(W). Then any finite ergodic invariant measure for the action of W on G/Gamma is a homogeneous measure (i.e., it is supported on a closed orbit of a subgroup preserving the measure). Moreover, if G/Gamma has finite volume (i.e., has a finite G-invariant measure), then the closure of any orbit of W on G/Gamma is a homogeneous set (i.e., a finite volume closed orbit of a subgroup containing W). Both the above results hold if W is replaced by any subgroup Lambda of W such that W/Lambda has finite volume.

연구 동기 및 목표

• 일파라미터 유니포텐트 부분군이 아닌, 유니포텐트 원소로 생성된 부분군 $W$에 대한 Ratner의 유니포텐트 흐름 정리들을 일반화하기 위해.
• G/\Gamma가 유한한 불변 측도와 오빗 폐쇄를 갖는다는 Margulis의 추측을 해결하기 위해.
• 유한 체적 동차 공간 $G/\Gamma$ 상에서 $W$-불변 에르고딕 측도가 더 큰 부분군 $H \supset W$의 닫힌 오빗에 지지됨을 증명하기 위해.
• G가 연결되어 있지 않더라도, $W$에 의한 오빗 폐쇄가 $W$를 포함하는 부분군의 유한 체적 닫힌 오빗임을 보여주기 위해.
• 체적이 유한한 $W/\Lambda$를 갖는 부분군 $\Lambda \subset W$로 결과를 확장하여, 측도와 오빗 폐쇄의 동차성이 유지됨을 확보하기 위해.

제안 방법

• Adjoint 표현 $\operatorname{Ad}_G$를 사용하여 $\operatorname{Ad}_G$-유니포텐트 원소와 부분군을 정의하기 위해.
• $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$ 상에서의 자리스키 폐쇄를 적용하여, 그의 부드러운 표현이 유니포텐트로 생성된 부분군의 자리스키 폐쇄에 포함되는 부분군 $W$를 특성화하기 위해.
• 일파라미터 유니포텐트 흐름에 대한 Ratner의 원래 정리를 기초 도구로 활용하기 위해.
• 스펜션 기법을 사용하고, 중심이 자명하고 컴팩트 성분이 없는 단순비가환 군의 경우로 환원하기 위해.
• Hedlund의 보조정리를 활용하여 에르고딕 측도와 오빗 폐쇄를 연결하기 위해: $\overline{Wx} = \operatorname{supp}(\mu)$ $\mu$-거의 모든 곳에서.
• Borel의 조밀도 정리와 자리스키 조밀도 결과를 적용하여, 몫 사상에 의한 오빗 이미지의 닫힘을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $W$가 $\operatorname{Ad}_G$-유니포텐트 원소로 생성된다면, $G/\Gamma$ 상에서의 유한한 $W$-불변 $W$-에르고딕 측도는 반드시 동차적일까?
• RQ2 체적이 유한한 동차 공간 $G/\Gamma$에서 $W$-오빗의 폐쇄 $\overline{Wx}$는 반드시 더 큰 부분군 $H \supset W$의 닫힌 오빗과 일치하는가?
• RQ3 G/\Gamma가 유한한 $G$-불변 측도를 갖는다면, 모든 국소 유한한 $W$-불변 에르고딕 측도가 유한한가?
• RQ4 결과를 $W$에서 $W/\Lambda$가 체적이 유한한 부분군 $\Lambda \subset W$로 확장할 수 있는가?
• RQ5 자리스키 폐쇄가 반드시 $H$에 속하지는 않지만 유니포텐트 원소로 생성되는 부분군 $H$의 오빗 폐쇄와 불변 측도의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 유한한 $W$-불변 $W$-에르고딕 측도는 항상 더 큰 부분군 $H \supset W$의 닫힌 오빗에 지지되며, 이 측도는 $H$-불변이다.
• 만약 $G/\Gamma$가 유한한 $G$-불변 측도를 갖는다면, 임의의 $W$-오빗의 폐쇄는 $W$를 포함하는 부분군의 유한 체적 닫힌 오짓이다.
• 모든 $x \in G/\Gamma$에 대해 $\overline{Wx} = Fx$ 를 만족하는 닫힌 부분군 $F \supset W$ 가 존재하며, $F^0x$ 는 유한한 $F^0$-불변 측도를 갖는다.
• $W/\Lambda$ 가 체적이 유한하다면, $W$에 대한 결과는 $\Lambda$로 확장되며, 국소 유한한 $\Lambda$-불변 에르고딕 측도는 유한하다.
• 주어진 조건 하에서, 모든 측도가 유한하고 오빗 폐쇄가 유한한 개수의 성분을 갖는다는 추측은 동치이다.
• 결과는 중심이 자명하고 컴팩트 성분이 없는 단순비가환 군의 경우로 환원되며, 이 경우 고차원 군에 대해서는 여전히 추측이 열려 있다. 다만 Eskin과 Margulis는 이후 추측 1.2를 증명하였다.