[논문 리뷰] Invariant Measures for TASEP with a Slow Bond

Riddhipratim Basu, Sourav Sarkar외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 25.

Random Matrices and Applications참고 문헌 16인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 원점에 있는 느린 결합을 가진 TASEP에 대한 Liggett의 추측을 엄밀하게 증명하며, 시스템이 원점에서 멀리 떨어진 곳에서 서로 다른 밀도($ρ < 1/2$ 오른쪽, $ρ' > 1/2$ 왼쪽)를 가진 제품 측도에 점 渐진적으로 가까워지는 정적 측도로 수렴함을 보인다. 지수 가중치를 가진 마지막 통과 퍼콜레이션을 통한 기하학적 접근을 통해 지오데식의 융합과 고정을 분석함으로써 상관관계 감쇠와 혼합성을 입증하며, 미세한 강도를 가진 느린 결합에도 불구하고 장거리 효과가 존재함을 확인한다.

ABSTRACT

Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP) on $\mathbb{Z}$ is one of the classical exactly solvable models in the KPZ universality class. We study the "slow bond" model, where TASEP on $\mathbb{Z}$ is imputed with a slow bond at the origin. The slow bond increases the particle density immediately to its left and decreases the particle density immediately to its right. Whether or not this effect is detectable in the macroscopic current started from the step initial condition has attracted much interest over the years and this question was settled recently (Basu, Sidoravicius, Sly (2014)) by showing that the current is reduced even for arbitrarily small strength of the defect. Following non-rigorous physics arguments (Janowsky, Lebowitz (1992, 1994)) and some unpublished works by Bramson, a conjectural description of properties of invariant measures of TASEP with a slow bond at the origin was provided in Liggett's 1999 book. We establish Liggett's conjectures and in particular show that TASEP with a slow bond at the origin, started from step initial condition, converges in law to an invariant measure that is asymptotically close to product measures with different densities far away from the origin towards left and right. Our proof exploits the correspondence between TASEP and the last passage percolation on $\mathbb{Z}^2$ with exponential weights and uses the understanding of geometry of maximal paths in those models.

연구 동기 및 목표

• 원점에 느린 결합이 있는 TASEP에 대한 정적 측도의 구조에 관한 Liggett의 추측을 엄밀히 확인하는 것.
• 단계 초기 조건에서 유도된 정적 측도가 원점의 양쪽에서 서로 다른 밀도를 가진 제품 측도에 점 渐진적으로 가까워지는가를 보여주는 것.
• 매우 작은 결함 강도일지라도 느린 결합이 장거리 상관관계를 유도하며, 이는 거시적으로도 감지될 수 있음을 보여주는 것.
• 마지막 통과 퍼콜레이션에서 유도된 기하 기법을 확장하여 느린 결합이 존재할 경우 지오데식의 행동과 상관관계 감쇠를 분석하는 것.
• 과정이 공간 무한대에서 원래 제품 측도와 점 渐진적으로 동치인 정적 측도로 수렴함을 보여주는 것.

제안 방법

• TASEP와 지ass된 마지막 통과 퍼콜레이션(DLPP) 모델 간의 대응 관계를 이용하며, $χ^2$에서 지수 통과 시간을 가진다.
• DLPP 모델에서 지오데식(최대 경로)의 기하학을 분석하여 원점의 느린 결합이 미치는 영향을 연구한다.
• 느린 결합 모델에서 점-점 지오데식의 고정에 대한 정량적 추정을 적용하여 상관관계 감쇠와 혼합성을 확립한다.
• 지오데식의 융합 결과, 특히 정리 1.8을 활용하여 느린 결합 모델과 표준 TASEP 모델의 경로를 비교한다.
• TASEP에 느린 결합이 있는 경우와 밀도 $p$를 가진 정적 TASEP 사이의 커플링을 활용하여 총 변동 거리에서의 점유 측도 수렴을 보여준다.
• 큰 척도의 점근적 분석을 통해 $(n+k,n)$에서 직선 $y = -\frac{p}{1-p}x$로 향하는 지오데식을 분석하며, $n \gg k \gg 1$일 때 일정 기울기를 가진 직선처럼 행동함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원점에 느린 결합이 있는 TASEP의 정적 측도가 공간 무한대에서 오른쪽과 왼쪽에서 서로 다른 밀도를 가진 제품 측도로 수렴하는가?
• RQ2 매우 미세한 강도를 가진 느린 결합이 거시적 정적 분포에서 장거리 효과를 유도하는가를 엄밀히 확인할 수 있는가?
• RQ3 느린 결합이 있는 마지막 통과 퍼콜레이션의 지오데식 경로는 표준 모델과 어떻게 다를까? 이는 입자 상관관계 감쇠에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 느린 결합이 있는 TASEP의 극한 정적 측도가 $\pm\infty$에서 원래 제품 측도와 점 渐진적으로 동치인가?
• RQ5 DLPP 모델에서 지오데식의 어떤 기하학적 성질이 정적 측도의 존재성과 구조를 보장하는가?

주요 결과

• 느린 결합이 있는 TASEP의 정적 측도는 원점의 오른쪽에서 $ρ < 1/2$, 왼쪽에서 $ρ' > 1/2$의 밀도를 가진 제품 측도에 점 渐진적으로 가까워지는 측도로 법적으로 수렴한다.
• 매우 작은 결함 강도일지라도 느린 결합은 거시적 전류 감소를 유도하며, 이는 [5]의 결과를 정적 측도 분석을 통해 확인한다.
• 원점에서 멀리 떨어진 점들에서 직선 $y = -\frac{p}{1-p}x$로 향하는 지오데식은 대각선에서 오직 $O(1)$ 시간만 소비하므로, 점 渐진적으로 직선이 되며 느린 결합의 영향을 거의 받지 않는다.
• 지오데식의 고정과 융합에 대한 정량적 추정을 통해 상관관계 감쇠와 혼합성을 확립함으로써, 극한 정적 측도의 존재를 보장한다.
• 초기 제품 측도 $Βε(p)$에 대한 극한 정적 측도 $ν_p^*$는 $±\infty$에서 $ν_p$와 점 渐진적으로 동치이며, 추측된 구조를 확인한다.
• 커플링 논증을 통해 큰 시간에서 TASEP에 느린 결합이 있는 경우의 점유 측도는 밀도 $p$를 가진 정적 TASEP의 점유 측도와 총 변동 거리에서 가까워지며, 이는 $ν_p^*$로 수렴함을 시사한다.