[논문 리뷰] Invariant metrics on negatively pinched complete Kähler manifolds

Damin Wu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 26.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 22인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 헬로모르픽 섹션 곡률이 두 음수 상수 사이로 둘러싸인 완전한 켈러 다양체 위에 완전한 켈러-아인슈타인 계량이 존재하고 유일함을 증명한다. $ t\omega - \text{Ric}(\omega) $의 켈러 클래스를 포함하는 새로운 복소 면적-암페르 방정식을 사용하여, 켈러-아인슈타인, 코바야시-로이덴, 베르그만, 배경 켈러 계량 간의 균일한 동치를 증명하며, 그레인과 우의 오랫동안 남아있던 두 가지 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We prove that a complete Kähler manifold with holomorphic curvature bounded between two negative constants admits a unique complete Kähler-Einstein metric. We also show this metric and the Kobayashi-Royden metric are both uniformly equivalent to the background Kähler metric. Furthermore, all three metrics are shown to be uniformly equivalent to the Bergman metric, if the complete Kähler manifold is simply-connected, with the sectional curvature bounded between two negative constants. In particular, we confirm two conjectures of R. E. Greene and H. Wu posted in 1979.

연구 동기 및 목표

• 1979년 레이먼드 E. 그레인과 후쿠시 우가 제기한, 음의 곡률이 둔감한 완전한 켈러 다양체에서 정적 계량 간의 균일한 동치에 관한 두 가지 추측을 해결하는 것.
• 헬로모르픽 섹션 곡률이 두 음수 상수 사이로 둘러싸인 완전한 켈러 다양체 위에 완전한 켈러-아인슈타인 계량의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 적절한 곡률 조건 하에서 켈러-아인슈타인 계량, 코바야시-로이덴 계량, 베르그만 계량, 배경 켈러 계량 간의 균일한 동치를 증명하는 것.
• 배경 계량의 리치 곡률에 대한 가정을 제거함으로써 이전의 비완전한 켈러-아인슈타인 계량 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 배경 계량 $ \omega $ 가 아닌 $ t\omega - \text{Ric}(\omega) $의 켈러 클래스를 포함하는 새로운 복소 면적-암페르 유형 방정식을 도입하여 켈러-아인슈타인 계량을 구성하는 것.
• 일반화된 최대원리 적용을 통해 면적-암페르 방정식의 해 $ u $ 에 대한 사전 추정을 도출하여 $ u $, 그 도함수, 계량 성분에 대한 균일한 유계를 확보하는 것.
• 준유계 기하 기법을 사용하여 국소 추정을 전체 다양체에서의 $ C^{k+2,\alpha} $ 정규성으로 확장하여 은직함수 정리의 적용을 가능하게 하는 것.
• 켈러-아인슈타인 계량 $ \omega_{\text{KE}} $ 가 $ C^{-1}\omega \leq \omega_{\text{KE}} \leq C\omega $ 를 만족함을 증명하여 계량 간의 균일한 동치를 확립하는 것. 여기서 $ C $ 는 차원, $ \kappa_1 $, $ \kappa_2 $ 에만 의존하는 상수이다.
• 제2저자의 일반화된 최대원리와 곡률 추정을 활용하여 스칼라 곡률과 계량 텐서의 추적을 제어하여 유계 곡률과 그 도함수를 보장하는 것.
• 은직함수 정리와 아스콜리-아르체라 정리를 사용하여 해 집합의 닫힘을 증명함으로써 $ t = 0 $ 에서 존재성을 확립하며, 이는 켈러-아인슈타인 계량에 해당하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헬로모르픽 섹션 곡률이 두 음수 상수 사이로 둘러싸인 완전한 켈러 다양체는 고유한 완전한 켈러-아인슈타인 계량을 갖는가?
• RQ2 그러한 곡률 조건 하에서 코바야시-로이덴 계량과 배경 켈러 계량은 균일하게 동치인가?
• RQ3 섹션 곡률이 두 음수 상수 사이로 둘러싸인 단순연결된 완전한 켈러 다양체에서, 베르그만 계량은 배경 켈러 계량과 균일하게 동치인가?
• RQ4 배경 계량의 리치 곡률에 대한 부호 조건 없이 켈러-아인슈타인 계량을 구성할 수 있는가?
• RQ5 모든 고전적 정적 계량—코바야시-로이덴, 베르그만, 켈러-아인슈타인, 배경 켈러—은 음의 헬로모르픽 섹션 곡률 조건 하에서 여전히 균일하게 동치인가?

주요 결과

• 헬로모르픽 섹션 곡률이 $ -\kappa_2 \leq H(\omega) \leq -\kappa_1 $ 를 만족하는 완전한 켈러 다양체는 리치 곡률이 $ -1 $ 인 고유한 완전한 켈러-아인슈타인 계량 $ \omega_{\text{KE}} $ 를 갖는다.
• 켈러-아인슈타인 계량 $ \omega_{\text{KE}} $ 는 배경 켈러 계량 $ \omega $ 와 균일하게 동치이며, $ C^{-1}\omega \leq \omega_{\text{KE}} \leq C\omega $ 를 만족한다. 여기서 $ C $ 는 오직 $ \dim M $, $ \kappa_1 $, $ \kappa_2 $ 에만 의존한다.
• 켈러-아인슈타인 계량 $ \omega_{\text{KE}} $ 의 모든 공변도함수는 다양체 $ M $ 에서 균일하게 유계이며, 그 bound 는 도함수의 차수, $ \dim M $, $ \kappa_1 $, $ \kappa_2 $ 에만 의존한다.
• 코바야시-로이덴 계량 $ \mathfrak{K} $ 는 배경 켈러 계량 $ \omega $ 와 균일하게 동치이며, 모든 $ x \in M $, $ \xi \in T^{1,0}_xM $ 에 대해 $ C^{-1}|\xi|_\omega \leq \mathfrak{K}(x,\xi) \leq C|\xi|_\omega $ 를 만족한다.
• 섹션 곡률이 두 음수 상수 사이로 둘러싸인 단순연결된 완전한 켈러 다양체에서, 베르그만 계량은 배경 켈러 계량과 모든 다른 정적 계량과 균일하게 동치이다.
• 이 논문은 1979년 그레인과 우가 제기한 두 가지 추측을 확인한다: 음의 곡률 조건 하에서 코바야시-로이덴 계량과 베르그만 계량이 배경 계량과 균일하게 동치이다.