[논문 리뷰] Inverse Optimal Safety Filters

Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 15.

Fault Detection and Control Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제어와 교란에 대해 약한 비선형 시스템에 대해 역 최적 안전 필터를 제안하며, 무한 시간에 걸친 최적성과 알려지지 않은 교란 하에서의 강건성을 확보한다. 제어 장벽 함수(CBF) 이론을 역 최적성으로 확장함으로써, 안전성과 일반 제어 성능 사이의 균형을 이루는 필터를 설계하며, 실제로는 실시간 제어 노력에서 부분적으로 최적성이 아니지만 무한 시간에 걸쳐 최적임을 증명한다.

ABSTRACT

CBF-QP safety filters are pointwise minimizers of the control effort at a given state vector, i.e., myopically optimal at each time instant. But are they optimal over the entire infinite time horizon? What does it even mean for a controlled dynamic systems to be "optimally safe" as opposed to, conventionally "optimally stable"? When disturbances, deterministic and stochastic, have unknown upper bounds, how should safety be defined to allow a graceful degradation under disturbances? Can safety filters be designed to guarantee such weaker safety properties as well as the optimality of safety over the infinite time horizon? We pose and answer these questions for general systems affine in control and disturbances and illustrate the answers using several examples. In the process, using the existing QP safety filters, as well as more general safety-ensuring feedbacks, we generate entire families of safety filters which are optimal over the infinite horizon though they are conservative (favoring safety over `alertness') relative to the standard QP.

연구 동기 및 목표

• ‘최적의 안전성’을 갖춘 제어 시스템의 개념을 정의하고 체계화하며, 기존의 ‘최적의 안정성’ 또는 ‘단기 최적성’ 설계와의 차이를 명확히 하기 위해.
• 기존의 CBF-QP 필터의 한계를 해결하기 위해, 이는 각 순간에서만 최적성이지만 무한 시간에 걸쳐선 최적이 아님을 다루기 위해.
• 무한 시간에 걸쳐 최적인, 즉 역 최적인 안전 필터를 개발하며, 알려지지 않은 결정론적 및 확률적 교란 하에서도 강건성을 유지하기 위해.
• 기존의 CBF 기반 안전 필터를 확장하여 알려지지 않은 교란 한계를 갖는 시스템을 다룰 수 있도록 하여 불확실성 하에서 점진적 성능 저하를 가능하게 하기 위해.
• 무한 시간 최적성과 강건한 안전성을 동시에 확보할 수 있는 이론적 조건을 설정하기 위해, 특히 확률적 또는 고상대차수 시스템에서도 성립하도록.

제안 방법

• 안전성 제약 조건으로 제어 장벽 함수(CBF)를 사용하고, 일반 제어 입력에서의 편차를 최소화하는 2차 프로그래밍(QP)을 설정함으로써 순간적 안전성을 확보한다.
• 비용 기능을 구성하여 역 최적성을 도입함으로써, 안전성(장벽 함수 감쇠 증가)과 일반 제어 준수를 모두 보상하는 방식으로, 무한 시간 최적성을 달성한다.
• 레전드르-펜클 변환과 얀의 부등식을 적용하여 비용 함수의 이중 표현을 유도하고, 최적성 조건 유도를 가능하게 한다.
• 미분형 생성자 분석을 통해 안전성에 대한 충분한 조건을 유도하며, 알려지지 않은 노이즈 공분산 하에서 시스템의 비틀림 항과 확산 항이 장벽 감쇠 조건을 만족하도록 보장한다.
• 모수화되지 않은 노이즈 공분산을 갖는 확률적 시스템을 위해, 2차 도함수와 확률적 항을 포함한 수정된 장벽 도함수 조건을 도입함으로써 프레임워크를 일반화한다.
• 표준 QP 필터보다 장기적인 안전성 성능에서 뛰어난 비-QP, 역 최적 안전 필터를 제안하며, 실시간 반응에서는 덜 민감하더라도 성능이 뛰어나다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 시간에 걸쳐 최적임을 의미하는 안전 필터는 무엇이며, 이는 CBF-QP 필터에서의 순간 최적성(단기 최적성)과 어떻게 다를까?
• RQ2 알려지지 않은 교란에 대해 강건성을 유지하면서도 무한 시간에 걸쳐 최적인, 즉 역 최적임을 보장하는 안전 필터를 설계할 수 있는가?
• RQ3 교란의 상한 값이 알려지지 않은 상황에서 안전성은 어떻게 정의되어야 하며, 어떤 성질이 불확실성 하에서 점진적 성능 저하를 보장하는가?
• RQ4 비-QP 안전 필터는 무한 시간 최적성에 도달할 수 있으며, 장기적인 안전성과 강건성에서 표준 QP 기반 필터를 능가할 수 있는가?
• RQ5 $L_g h$ 항은 안전 필터의 최적성 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 이는 역 최적 제어에서의 $L_g V$ 제어기와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 표준 CBF-QP 필터가 무한 시간에 걸쳐 최적이 아니며, 실시간 제어 노력 최소화에 초점을 맞추다 보니 장기적 안전성에 손해를 본다는 것을 증명한다.
• 안전성과 일반 제어 준수를 모두 보상하는 비용 기능을 최소화함으로써, 무한 시간에 걸쳐 최적임을 보장하는 역 최적 안전 필터를 구성한다.
• 모수화되지 않은 노이즈 공분산을 갖는 확률적 시스템의 경우, 미분형 생성자 $\mathcal{L}h(x)$ 를 사용하여 충분한 조건을 도출하며, $-\alpha(h(x)) \leq \mathcal{L}h(x) \leq -\alpha_0(h(x))$ 를 보장함으로써 기대값 기반으로 오버슈트가 발생하지 않음을 보장한다.
• 제안된 필터는 알려지지 않은 교란 하에서도 여전히 역 최적성을 확보하며, 수정된 장벽 도함수 조건을 통해 이론적으로 안전성과 강건성을 보장한다.
• 이론적 결과는 비-QP, 역 최적 필터가 실시간 반응에서는 더 보수적이지만 장기적인 안전성 성능에서 표준 QP 필터를 능가할 수 있음을 보여준다.
• 프레임워크는 고상대차수 CBF를 갖는 시스템과 확률적 시스템으로 일반화되며, 노이즈 공분산이 알려져 있거나 알려지지 않은 경우에 대해 명시적인 조건이 도출된다.