[논문 리뷰] Inverse scattering transforms and N-double-pole solutions for the derivative NLS equation with zero/non-zero boundary conditions

Guoqiang Zhang, Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 06.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 41인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 영 boundary 조건(ZBC) 및 비영 boundary 조건(NZBCs)을 모두 고려한 비선형 도함수 슈뢰딩거(DNLS) 방정식에 대해 행렬 리emann-힐버트 문제를 사용하여 역산성 변환(IST)을 엄밀하게 개발한다. 이를 통해 명시적인 이중극(double-pole) N 솔리톤 해를 유도한다. 주요 기여는 ZBC와 NZBC 모두에서 이중극 솔리톤 및 브리더 해를 체계적으로 처음으로 구성한 것으로, 반합리적 밝기-밝기, 어둠자욱-밝기, 브리더-브리더 상태를 포함하며, 행렬식과 추적 공식을 통해 명시적인 공식을 유도한다.

ABSTRACT

We systematically report a rigorous theory of the inverse scattering transforms (ISTs) for the derivative nonlinear Schrodinger (DNLS) equation with both zero boundary condition (ZBC)/non-zero boundary conditions (NZBCs) at infinity and double poles of analytical scattering coefficients. The scattering theories for both ZBC and NZBCs are addressed. The direct problem establishes the analyticity, symmetries and asymptotic behavior of the Jost solutions and scattering matrix, and properties of discrete spectra. The inverse problems are formulated and solved with the aid of the matrix Riemann-Hilbert problems, and the reconstruction formulae, trace formulae and theta conditions are also posed. In particular, the IST with NZBCs at infinity is proposed by a suitable uniformization variable, which allows the scattering problem to be solved on a standard complex plane instead of a two-sheeted Riemann surface. The reflectionless potentials with double poles for the ZBC and NZBCs are both carried out explicitly by means of determinants. Some representative semi-rational bright-bright soliton, dark-bright soliton, and breather-breather solutions are examined in detail. These results will be useful to further explore and apply the related nonlinear wave phenomena.

연구 동기 및 목표

• 무한대에서 영 boundary 조건 및 비영 boundary 조건을 모두 고려한 도함수 NLS 방정식에 대해 완전한 역산성 변환(IST) 프레임워크를 개발한다.
• 이전에 단순극만 다룰 수 있었던 기존의 IST 방법을 확장하여 산란 데이터의 이중극을 다룰 수 있도록 하여 고차 솔리톤 해를 구성할 수 있도록 한다.
• 행렬 리만-힐버트 문제(RHPs)를 사용하여 역문제를 수식화하고, 재구성 공식, 추적 공식, 테타 조건을 제공한다.
• ZBC 및 NZBC의 두 경우에 대해 이중극을 가진 반사 없음 잠재력의 명시적 유도를 수행하며, 반합리적 솔리톤 및 브리더 해를 포함한다.
• 비영 boundary 조건의 처리를 통일하기 위해 유니폼화 변수를 도입하여 산란 문제를 두 겹의 리만 표면이 아닌 표준 복소 평면에서 해결할 수 있도록 한다.

제안 방법

• ZBC 및 NZBC 모두에 대해 조스트 해와 산란 행렬의 해석성, 대칭성, 점점 가까워지는 행동을 확립함으로써 직접 산란 문제를 분석한다.
• 역문제는 복소 평면 위에서의 행렬 리만-힐버트 문제(RHP)로 수식화되며, RHP의 점프 조건과 이중극에서의 잔여 조건을 통해 해를 재구성한다.
• 비영 boundary 조건 문제를 두 겹의 리만 표면에서 표준 복소 평면으로 매핑하기 위해 유니폼화 변수를 도입하여 분석을 단순화한다.
• 산란 데이터의 이중극에서의 잔여 계산에서 유도된 행렬 성분의 행렬식을 사용하여 이중극 해를 명시적으로 구성한다.
• 산란 데이터와 잠재력 간의 관계를 보장하기 위해 추적 공식과 테타 조건을 유도한다.
• 게이지 변환을 적용하여 DNLS 방정식의 해를 수정된 NLS 방정식으로 매핑함으로써 광섬유 및 플라즈마 응용에서의 물리적 해석을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도함수 NLS 방정식의 산란 데이터에서 이중극을 다룰 수 있도록 역산성 변환(IST)을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 NZBC 하에서 DNLS 방정식의 리만-힐버트 문제 수식화의 구조는 어떻게 되며, 유니폼화 변수를 사용하여 어떻게 단순화할 수 있는가?
• RQ3 ZBC 및 NZBC 모두에서 N-이중극 솔리톤 및 브리더 해의 명시적 형태는 무엇이며, 단순극 해와 어떻게 다를까?
• RQ4 DNLS 방정식의 이중극 해의 맥락에서 추적 공식과 테타 조건은 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 NZBC 하에서 어둠자욱-밝기 솔리톤 및 브리더-브리더 상호작용과 같은 반합리적 해의 동역학적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• ZBC 하에서 DNLS 방정정의 명시적 이중극 N-솔리톤 해는 리만-힐버트 문제에서 유도된 행렬 성분의 행렬식을 사용하여 유도되며, 산란 데이터를 포함하는 행렬식의 비율로 표현된다.
• NZBC의 경우, 유니폼화 변수를 사용하여 표준 복소 평면 위에서의 행렬 리만-힐버트 문제를 통해 역문제를 해결함으로써 두 겹의 리만 표면이 필요 없도록 한다.
• 잠재력의 재구성 공식이 리만-힐버트 해의 관점에서 유도되었으며, 이중극의 경우 잔여항과 산란 계수의 도함수를 포함하는 명시적 표현이 제공된다.
• 반합리적 밝기-밝기 솔리톤, 어둠자욱-밝기 솔리톤, 브리더-브리더 해가 명시적으로 구성되고 분석되었으며, 한 예에서는 수치적 진화에서 가우시안 유사 프로파일이 증폭되는 상태로 변화하는 것을 보였다.
• 이중극을 가진 반사 없음 잠재력은 행렬식을 사용하여 명시적으로 유도되었으며, 짧은 시간 동안의 수치 검증을 통해 안정적인 전파가 이루어지는 것을 확인하였다.
• 결과는 게이지 변환을 통해 수정된 NLS 방정식으로 이식 가능하여 초고속 광파동 전파 및 비선형 플라즈마 파동 응용에 기여할 수 있다.