[논문 리뷰] Inversion Complexity of Functions of Multi-Valued Logic

V. V. Kochergin, A. V. Mikhailovich|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 20.

Formal Methods in Verification참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 A.A. 마르코프의 고전적 결과인 부정 복잡도 이론을 부울 논리 함수에서 k-값 논리 함수로 확장한다. 이는 임의의 k-값 함수를 계산하는 데 필요한 비단조화 게이트의 최소 수가, 포스트 또는 루카시에비치 부정을 사용할 경우 각각 ⌈log₂(d(f)+1)⌉ 및 ⌈logₖ₋₁(d(f)+1)⌉임을 입증하며, 여기서 d(f)는 증가하는 변수 체인을 따라 값 감소의 최대 수를 측정한다.

ABSTRACT

The minimum number of NOT gates in a logic circuit computing a Boolean function is called the inversion complexity of the function. In 1957, A. A. Markov determined the inversion complexity of every Boolean function and proved that $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil$ NOT gates are necessary and sufficient to compute any Boolean function $f$ (where $d(f)$ is the maximum number of value changes from greater to smaller over all increasing chains of tuples of variables values). This result is extended to $k$-valued functions computing in this paper. Thereupon one can use monotone functions "for free" like in the Boolean case. It is shown that the minimum sufficient number of non-monotone gates for the realization of the arbitrary $k$-valued logic function $f$ is equal to $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil$ if Post negation (function $x+1 \pmod{k}$) is used in NOT nodes and is also equal to $\lceil\log_{k}(d(f)+1) ceil$, if Łukasiewicz negation (function $k-1-x$) is used in NOT nodes. Similar extension for another classical result of A. A. Markov for the inversion complexity of a system of Boolean functions to $k$-valued logic functions has been obtained.

연구 동기 및 목표

• 1957년 A.A. 마르코프의 부울 논리 함수에 대한 부정 복잡도 결과를 k-값 논리 함수로 일반화하는 것.
• 비단조화 게이트의 수를 최소화하기 위해 단조함수를 '무료' 구성 요소로 사용하는 k-값 논리 함수의 부정 복잡도를 정의하고 분석하는 것.
• 포스트와 루카시에비치 부정이라는 두 가지 표준 부정 연산을 사용할 경우, 임의의 k-값 함수를 실현하기 위해 필요한 비단조화 게이트의 정확한 수를 결정하는 것.
• 기존의 마르코프 부정 복잡도 결과를 k-값 논리 설정으로 확장하는 것.
• 특정 기반에서 k-값 논리의 부정 복잡도에 대한 샤논 함수에 대한 명시적 공식을 유도하는 것.

제안 방법

• 정렬된 집합 {0, 1, ..., k−1} 위에서 k-값 논리 함수와 단조함수를 정의한다.
• 입력 튜플의 '증가 체인' 개념을 도입하고, 함수 시스템 F의 '감소 수' d(F)를 이러한 체인을 따라 발생하는 값 감소의 최대 수로 정의한다.
• 두 가지 표준 기반을 사용한다: B_P (포스트 부정 x+1 mod k 포함)와 B_L (루카시에비치 부정 k−1−x 포함).
• 회로 복잡도에 대한 수학적 귀납법을 통해 d(F) ≤ (d(B)+1)^{I_B(F)} − 1이라는 부등식을 이용해 부정 복잡도의 하한을 확립한다.
• s-연결기와 단조함수를 사용한 재귀적 회로 변환 기법을 통해 체인 세그먼트 간의 함수 행동을 시뮬레이션한다.
• 함수의 감소 수 d(F)의 구조를 활용하여 로그 복잡도에 도달하는 회로를 구성함으로써 경계의 날카로움을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 k-값 논리 함수를 계산하기 위해 필요한 비단조화 게이트의 최소 수는 얼마인가?
• RQ2 포스트 부정과 루카시에비치 부정 간의 선택이 k-값 논리에서의 부정 복잡도에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 마르코프의 부울 함수에 대한 고전적 부정 복잡도 결과를 k-값 논리 함수 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 기반 B_P와 B_L에서 k-값 논리의 부정 복잡도에 대한 샤논 함수의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ5 함수의 증가 체인을 따라 측정한 최대 감소 수 d(f)는 비단조화 기반에서의 회로 복잡도와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 기반 B_P에서 임의의 k-값 논리 함수 f의 부정 복잡도는 정확히 ⌈log₂(d(f)+1)⌉이다.
• 기반 B_L에서 임의의 k-값 논리 함수 f의 부정 복잡도는 정확히 ⌈logₖ₋₁(d(f)+1)⌉이다.
• k-값 논리 함수 시스템의 경우, 기반 B_P에서의 부정 복잡도는 ⌈log₂(d(F)+1)⌉이며, 기반 B_L에서는 ⌈logₖ₋₁(d(F)+1)⌉이다.
• 기반 B_P에서 n-변수 k-값 함수의 부정 복잡도에 대한 샤논 함수는 ⌈log₂T(k,n)⌉이며, 여기서 T(k,n) = (k−2)n + ⌈n/k⌉ + 1이다.
• 기반 B_P에서 n개 변수에 대해 m개의 함수에 대한 부정 복잡도 샤논 함수는 ⌈log₂((k−1)n + 1)⌉이며, 기반 B_L에서는 ⌈logₖ₋₁((k−1)n + 1)⌉이다.
• 이 경계들은 날카롭고, s-연결기와 단조함수를 사용한 재귀적 회로 구성 기법을 통해 실현된다.