[논문 리뷰] Irrational Numbers Associated to Sequences Without Geometric Progressions

Melvyn B. Nathanson, Kevin O’Bryant|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 30.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공비가 s의 거듭제곱인 길이 k의 기하급수적 등비수열을 포함하지 않는 {1, 2, ..., n}의 최대 부분집합의 자연 밀도가 무리수로 수렴함을 증명한다. 이 극한은 k항 산술급수를 포함하지 않는 {0, 1, ..., ℓ−1}의 최대 부분집합의 크기를 세는 함수 r_k(ℓ)의 역상에 관여하는 무한급수로 표현된다. 무리수 성질은 극한의 밑 s 전개에서 1의 위치에 무한히 증가하는 간격이 존재하기 때문에 발생하며, 이는 산술급수에 관한 Szemerédi의 정리에 의해 증명된다.

ABSTRACT

Let s and k be integers with s \geq 2 and k \geq 2. Let g_k^{(s)}(n) denote the cardinality of the largest subset of the set {1,2,..., n} that contains no geometric progression of length k whose common ratio is a power of s. Let r_k(\ell) denote the cardinality of the largest subset of the set {0,1,2,\ldots, \ell -1\} that contains no arithmetric progression of length k. The limit \[ \lim_{n ightarrow \infty} \frac{g_k^{(s)}(n)}{n} = (s-1) \sum_{m=1}^{\infty} \left(\frac{1}{s} ight)^{\min \left(r_k^{-1}(m) ight)} \] exists and converges to an irrational number.

연구 동기 및 목표

• 공비가 s의 거듭제곱인 길이 k의 기하급수적 등비수열을 포함하지 않는 {1, 2, ..., n}의 최대 부분집합의 점근적 밀도를 결정하는 것.
• 정수를 s-adic 값표에 따라 분해하고 기하급수적 등비수열을 포함하지 않는 집합을 지수에서의 산술급수를 포함하지 않는 집합과 연결함으로써 이러한 극값 집합의 구조를 분석하는 것.
• 기하급수적 등비수열을 포함하지 않는 집합의 극한 밀도가 무리수임을 보여주기 위해, 그 밑 s 전개에서 1의 위치에 무한히 증가하는 간격이 있음을 증명하는 것.
• 기하급수적 등비수열을 포함하지 않는 집합에 관한 기존 결과를 확장하여, 지수 수열을 통해 기하급수적 등비수열의 자유성과 산술급수의 자유성을 연결하는 것.

제안 방법

• g_k^(s)(n)을 공비가 s의 거듭제곱인 k항 기하급수적 등비수열을 포함하지 않는 {1, 2, ..., n}의 최대 부분집합의 크기로 정의한다.
• {1, 2, ..., n}을 s로 나누어 떨어지지 않는 b에 대해 T(b) = {b s^i : i ≥ 0}로 분할하며, 각각 고정된 '기저' b에 대응한다.
• 각 b에 대해 T(b) ∩ {1, ..., n}의 원소 수는 1 + [log_s(n/b)]이며, T(b)에서 k항 기하급수적 등비수열을 포함하지 않는 최대 부분집합의 크기는 r_k(1 + [log_s(n/b)])이다. 여기서 r_k(ℓ)는 {0, 1, ..., ℓ−1}에서 k항 산술급수를 포함하지 않는 최대 부분집합의 크기이다.
• g_k^(s)(n)을 B_n에 속하는 b에 대해 r_k(1 + [log_s(n/b)])의 합으로 표현하고, r_k(ℓ)의 분포와 주어진 log_s(n/b)를 갖는 b의 수를 이용해 합을 추정한다.
• r_k^{-1}(m)을 사용해 r_k(ℓ)의 값에 따라 항을 묶어, m에 대해 m × ∑_{ℓ ∈ r_k^{-1}(m)} s^{-ℓ}의 합으로 전환한다.
• 합분할 기법과 점근적 분석을 적용하여 g_k^(s)(n)/n이 (s−1) ∑_{m=1}^∞ (1/s)^{min(r_k^{-1}(m))}로 수렴함을 보이고, 이 극한이 밑 s 전개에서 1의 위치에 무한히 증가하는 간격이 있기에 무리수임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n의 극한이 존재하는가? 존재한다면 무한급수로 표현할 수 있는가?
• RQ2 모든 정수 s ≥ 2 및 k ≥ 2에 대해 lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n의 극한이 무리수인가?
• RQ3 산술급수에 관한 Szemerédi의 정리를 사용하지 않고도 이 극한의 무리수성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 함수 g_k^(s)(n)은 s에 대해 비감소적인가? 그리고 큰 n에 대해 s' > s이면 g_k^(s')(n) < g_k^(s)(n)인가?
• RQ5 S가 2 이상인 밑 s의 유한집합일 때 g_k^(S)(n)/n의 극한이 무한급수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n의 극한이 존재하며, 이는 (s−1) ∑_{m=1}^∞ (1/s)^{min(r_k^{-1}(m))}와 같다. 여기서 r_k(ℓ)는 {0, 1, ..., ℓ−1}에서 k항 산술급수를 포함하지 않는 최대 부분집합의 크기이다.
• 무한급수는 (0,1) 내 실수로 수렴하며, 그 밑 s 전개에서는 0과 1의 숫자만 포함된다.
• 이 수는 무리수이다. 그 이유는 밑 s 전개에서 1의 위치에 무한히 증가하는 간격이 존재하기 때문이며, 이는 레마 1과 Szemerédi의 정리의 결과이다.
• 무리수 성질은 귀류법으로 증명된다. 만약 이 수가 유리수였다면 그 밑 s 전개는 궁극적으로 반복되지만, 1의 위치에 무한히 증가하는 간격이 존재하므로 이는 불가능하다.
• 이 극한은 (s−1)/s보다 작으며, (1/s)^{min(r_k^{-1}(m))}의 지수 감쇠로 인해 급수는 절대수렴한다.
• 이 결과는 모든 정수 s ≥ 2 및 k ≥ 2에 대해 성립하며, 유한한 밑 s 집합으로의 일반화도 가능하다.