[논문 리뷰] Irreducible affine isometric actions on Hilbert spaces

Bachir Bekka, Thibault Pillon외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 09.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 18인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 국소 콪그룹의 힐버트 공간 위로의 기하학적 등급을 갖는 불변 작용을 체계적으로 연구하기 위해 슈어의 보조정리의 아핀 판정을 도입한다. 비산성은 코사이클의 전체 상과 특정 조건부 음수 유형 함수의 무한성에 의해 특징지어진다. 핵심 결과는 초강고정성 정리이다: 국소 콩그룹의 곱에서 코어-콤��� 랏트의 기하학적 등급 작용이 선형 부분이 자명 표현을 약하게 포함하지 않는 한, 전체 군으로 확장된다.

ABSTRACT

We undertake a systematic study of irreducible affine isometric actions of locally compact groups on Hilbert spaces. It turns out that, while that are a few parallels of this study to the by now classical theory of irreducible unitary representations, these two theories differ in several aspects (for instance, the direct sum of two irreducible affine actions can still be irreducible). One of the main tools we use is an affine version of Schur's lemma characterizing the irreducibility of an affine isometric group action. This enables us to describe for instance the irreducible affine isometric actions of nilpotent groups. As another application, a short proof is provided for the following result of Neretin: the restriction to a cocompact lattice of an irreducible affine action of locally compact group remains irreducible. We give a necessary and sufficient condition for a fixed unitary representation to be the linear part of an irreducible affine action. In particular, when the unitary representation is a multiple of the regular representation of a discrete group G, we show how this question is related to the L2-Betti number of G. After giving a necessary and sufficient condition for a direct sum of irreducible affine actions to be irreducible, we show the following super-rigidity result: if G is product of two or more locally compact groups, then every irreducible affine action of any irreducible co-compact lattice in G extends to an affine action of G, provided the linear part of this action does not weakly contain the trivial representation.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 표현 이론과 유사하지만 다를 바 있는, 힐버트 공간 위의 기하학적 등급 작용의 체계적 이론을 개발하기 위해.
• 공변자와 고정점 성질에 중점을 두어, 아핀 판정의 슈어의 보조정리에 기반한 비산성의 특징을 규명하기 위해.
• 주어진 유니터리 표현 π가 비산성 기하학적 등급 작용의 선형 부분으로서 어떻게 나타나는지 규명하기 위해.
• 국소 콩그룹의 곱에서 코어-콤팩트 랏트의 비산성 기하학적 등급 작용에 대해 초강고정성 정리를 증명하기 위해.
• 비산성 기하학적 등급 작용의 존재성과 L² 베타 수, 특히 이산 ICC 군에 대한 β₁⁽²⁾(Γ) 사이의 관계를 연결하기 위해.

제안 방법

• 아핀 슈어의 보조정리 도입: 아핀 작용이 비산성임과 그 공변자에 의해 오직 이동만 존재함과 동치이다.
• 코사이클 조건과 전체 상 특성화를 활용: 비산성이 성립함과 모든 v에 대해 g ↦ b(g) + π(g)v − v의 상이 H에서 조밀함이 동치이다.
• 연속 아핀 사상의 모노이드 안에서 공변자 α(G)′의 구조를 분석하여, α가 비산성임과 동치로 이동만 존재함을 보였다.
• 노르베르 및 아벨 군에 이론을 적용하여, 비산성 작용이 H에서 조밀한 상을 가지는 호모모르피즘 b : G → H로부터 유도됨을 보였다.
• 코homological 도구를 사용: H¹(G, π) ≠ 0이면 비코바리언트 코사이클이 존재함을 보장하며, 이는 비산성 작용의 구성에 기여한다.
• 스펙트럼 조건을 통한 확장 결과 증명: 선형 부분이 자명 표현을 약하게 포함하지 않는 한, 랏트에서 전체 군으로 비산성 작용이 확장됨을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 공간 위의 기하학적 등급 작용에서 비산성의 정확한 특징은 무엇이며, 유니터리 비산성과 어떻게 다를까?
• RQ2 주어진 유니터리 표현 π가 비산성 기하학적 등급 작용의 선형 부분으로서 어떻게 실현될 수 있을까?
• RQ3 코어-콤팩트 랏트의 비산성 기하학적 등급 작용이 언제 전체 군의 작용으로 확장될 수 있을까?
• RQ4 이산 ICC 군 Γ에 대해 첫 번째 L² 베타 수 β₁⁽²⁾(Γ)는 비산성 기하학적 등급 작용의 존재성과 어떻게 관련되어 있을까? 특히 정규 표현의 배수로 이루어진 선형 부분을 갖는 경우에 대해.
• RQ5 무한 차원에서 궤도 봉화 조건의 역이 성립하는가? 반례는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 v ∈ H에 대해 코사이클 g ↦ b(g) + π(g)v − v 가 H에서 조밀한 상을 갖는 것과 동치로, 아핀 작용은 비산성이다.
• 노르베르 및 아벨 군의 비산성 아핀 작용은 H에서 조밀한 상을 갖는 호모모르피즘 b : G → H에 의해 특징지어진다.
• 코어-콤팩트 랏트로 제한된 비산성 아핀 작용은 아핀 슈어의 보조정리를 통해 여전히 비산성임을 증명하였다.
• 이산 ICC 군 Γ에 대해, 첫 번째 L² 베타 수 β₁⁽²⁾(Γ)는 L(Γ)-모듈러스의 차원 t ≥ 0 중에서, 어떤 비산성 아핀 작용의 선형 부분으로 나타나는 최대값과 같다.
• G가 두 개 이상의 국소 콩그룹의 곱이고, Γ ≤ G가 코어-콤팩트 비산성 랏트이면, 선형 부분이 자명 표현을 약하게 포함하지 않는 한, Γ의 모든 비산성 아핀 작용은 G로 확장된다.
• 무한 차원에서 궤도 봉화 조건을 만족하지 않는 비산성 아핀 작용이 존재하지만, 유한 차원에서는 그 역이 성립한다: 비산성은 궤도 봉화를 유도한다.