[论文解读] Irreducible symplectic complex spaces

Tim Kirschner|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 56被引用 6

一句话总结

本文建立了具有有理奇点的 Fujiki 类 C 的不可约辛复空间的基础性质，重点研究其上同调理论、形变理论以及 Beauville-Bogomolov 形式。证明了此类空间在 H² 上具有纯重量 2 的 Hodge 结构，且 Hodge 滤子 F² 在通过解析的拉回下保持不变，从而导出同调群 H²(X, R) → H²(X, O_X) 的满射。主要贡献为局部 Torelli 定理以及 Beauville-Bogomolov 形式的 Fujiki 关系式。

ABSTRACT

In chapter 1 we define period mappings of Hodge-de Rahm type for certain submersive, yet not necessarily locally topologically trivial, morphisms of complex manifolds. Generalizing Griffiths's theory, we interpret the differential of such period mappings as the composition of the Kodaira-Spencer map and a map derived from the sheaf cohomological cup product and the contraction of vector fields with differential forms. In chapter 2 of the text, we consider a submersive morphism $f\colon X o S$ of complex spaces which is compactified by a proper, flat, and Kähler morphism $\bar f\colon \bar X o S$. Taking into account the codimension of $\bar X\setminus X$ in $\bar X$, we draw conclusions about the degeneration behavior of the relative Frölicher spectral sequence of the morphism $f$ and about the local freeness of the modules $\mathrm{R}^qf_*(Ω^p_f)$; our results can be viewed as relative generalizations of a theorem of Takeo Ohsawa. In our final chapter 3, we employ the upshots of the preceding two chapters in order to deduce a local Torelli theorem for irreducible symplectic complex spaces. As an application of the local Torelli theorem, we prove that irreducible symplectic complex spaces whose codimension of the singular locus does not deceed 4 satisfy the so-called Fujiki relation.

研究动机与目标

• 为不可约辛复空间建立全面的上同调理论框架。
• 确立辛复空间的局部 Torelli 定理。
• 证明此类空间上 Beauville-Bogomolov 形式的存在性及其性质。
• 分析在奇点解析下 Hodge 结构的行为。
• 在 Fujiki 类 C 空间的背景下验证 Beauville-Bogomolov 形式的 Fujiki 关系式。

提出的方法

• 利用周期映射与 Gauss-Manin 连接研究 Hodge 结构的变化。
• 应用形式完备化与无穷小邻域理论分析局部形变。
• 运用 Gauss-Manin 连接与导出函子研究上同调性质。
• 利用基变换映射与谱序列分析 Frölicher 谱序列的退化。
• 通过奇点的解析与 Leray 谱序列，应用有理奇点的 Hodge 理论。
• 通过辛结构构造 Beauville-Bogomolov 形式，并证明其与 Hodge 滤子的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有理奇点的 Fujiki 类 C 的不可约辛复空间 X，其 H²(X) 上的 Hodge 结构如何表现？
• RQ2 光滑底流形上的辛形式在解析下能否延拓为解析空间上的全局形式？
• RQ3 通过解析 f: W → X 拉回后，Hodge 滤子 F²H²(X) 的结构如何？
• RQ4 不可约辛复空间是否满足局部 Torelli 定理？
• RQ5 Beauville-Bogomolov 二次型的 Fujiki 关系式的精确形式是什么？

主要发现

• 具有有理奇点的 Fujiki 类 C 的不可约辛复空间 X 上的混合 Hodge 结构 H²(X) 为纯重量 2。
• 对任意解析 f: W → X，拉回映射 f*: F²H²(X) → F²H²(W) 是同构。
• 自然映射 H²(X, R) → H²(X, O_X) 是满射，其由 F²-滤子的同构性与 W 上的经典 Hodge 理论推出。
• 局部 Torelli 定理成立：辛形式决定了复空间的局部形变类型。
• H²(X, Z) 上的 Beauville-Bogomolov 形式满足 Fujiki 关系式：∫_X (σ)^n = c ⋅ Q(σ, σ)^{n/2}，其中 c > 0 为某常数。
• H²(X) 上的重量滤子满足 W_n H²(X) = 0（当 n < 2 时），且 W_n H²(X) = H²(X, Q)（当 n ≥ 2 时），从而确认了纯性。