[논문 리뷰] Isotriviality is equivalent to potential good reduction for endomorphisms of ${\mathbb P}^N$ over function fields

Clayton Petsche, Lucien Szpiro외 1명|ArXiv.org|2008. 06. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 함수체 K = k(C) 상의 사영 공간의 내형사상에 대해, 등지표성과 모든 K의 자리에서 잠재적 양호한 환원성의 동치성을 증명한다. 저자들은 대수기하학과 기하학적 불변량 이론을 사용하는 증명과, 비아르키메데스 동역학을 사용하는 증명을 제시하며, 이는 이전의 P^1에 대한 결과를 고차원으로 일반화한다. 핵심 기여는 국소적 환원 성질을 통한 등지표성 내형사상의 전역적 특성화이다.

ABSTRACT

Let $K=k(C)$ be the function field of a complete nonsingular curve $C$ over an arbitrary field $k$. The main result of this paper states that a morphism $ϕ:{\mathbb P}^N_K o{\mathbb P}^N_K$ is isotrivial if and only if it has potential good reduction at all places $v$ of $K$; this generalizes results of Benedetto for polynomial maps on ${\mathbb P}^1_K$ and Baker for arbitrary rational maps on ${\mathbb P}^1_K$. We offer two proofs: the first uses algebraic geometry and geometric invariant theory, and it is new even in the case N=1. The second proof uses non-archimedean analysis and dynamics, and it more directly generalizes the proofs of Benedetto and Baker. We will also give two applications. The first states that an endomorphism of ${\mathbb P}^N_K$ of degree at least two is isotrivial if and only if it has an isotrivial iterate. The second gives a dynamical criterion for whether (after base change) a locally free coherent sheaf ${\mathcal E}$ of rank $N+1$ on $C$ decomposes as a direct sum ${\mathcal L}\oplus...\oplus{\mathcal L}$ of $N+1$ copies of the same invertible sheaf ${\mathcal L}$.

연구 동기 및 목표

• P^1에서의 등지표성과 잠재적 양호한 환원성의 동치성을 함수체 위의 P^N으로 일반화하는 것.
• 이 동치성에 대한 두 가지 서로 다른 증명—기하학적 증명과 동역학적 증명—제시하기.
• 곡선 위의 국소적으로 자유인 층이 단일 가역 층의 직합으로 분해되는 조건을 설정하는 것.
• 어떤 반복이 등지표성이면 내형사상이 등지표성임을 보여주는 것.
• Benedetto와 Baker의 정준 높이와 전주기 점에 관한 결과를 등지표성 경우로 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• k 상의 차수 d 내형사상의 모듈리 공간 M_{N,d}를 애매한 k-다양체로 구성하기.
• 모든 자리에서 잠재적 양호한 환원성을 갖는 사상이 유도하는 정칙 사상 C → M_{N,d}의 존재를 이용하기.
• M_{N,d}의 애매함을 이용해 이 사상이 상수임을 도출함으로써, 사상이 등지표성임을 유추하기.
• 비아르키메데스 동역학과 올바름의 평가 조건을 적용하여, 전주기 점에 관련된 사영 배럴의 단면을 구성하기.
• 선형 독립적인 k-유리 전주기 점의 집합이 존재함을 이용해, 층 E에서 O_C의 직합으로의 사상 구축하기.
• 각 잔여체 위에서의 선형 독립성을 보여 이 사상이 동형임을 증명함으로써, E가 자명함을 유추하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체 위의 P^N에서 내형사상에 대해 등지표성은 모든 자리에서 잠재적 양호한 환원성과 동치인가?
• RQ2 기하학적 불변량 이론을 사용하여 등지표성과 잠재적 양호한 환원성의 동치성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 비아르키메데스 동역학과 사영 배럴의 단면 이론을 사용하여 동치성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 함수체 위의 P^N에서 내형사상이 등지표성일 필요충분조건은 어떤 반복이 등지표성인가?
• RQ5 곡선 C 위의 계수 N+1의 국소적으로 자유인 층 E가 N+1개의 동일한 가역 층의 직합으로 분해되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 사상 φ: P^N_K → P^N_K가 등지표성일 필요충분조건은 K의 모든 자리 v에서 잠재적 양호한 환원성을 갖는 것이다.
• k 상의 차수 d 내형사상의 모듈리 공간 M_{N,d}는 애매한 k-다양체이며, 이는 기하학적 불변량 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 모든 곳에서 잠재적 양호한 환원성을 갖는 사상은 C → M_{N,d}로의 상수 사상을 유도하며, 이는 등지표성을 의미한다.
• 선형 독립적인 k-유리 전주기 점의 유한 집합이 존재하면, 층 동형사상 E ≅ O_C ⊕ ⋯ ⊕ O_C를 구성할 수 있다.
• E가 자명하면, 사상 φ는 상수체 k 상에서 정의되며, 이는 등지표성을 확인한다.
• 기저 체 k가 대수적으로 닫혀 있지 않아도 동치성은 성립하며, 이는 모든 차수 d ≥ 2로 확장된다.