[论文解读] Itô calculus and jump diffusions for $G$-Lévy processes

Krzysztof Paczka|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文为具有有限活动性的$G$-Lévy过程建立了伊藤微积分框架，引入了伊藤-列维积 分，推导了伊藤公式，并发展了由此类过程驱动的随机微分方程（SDEs）、倒向随机微分方程（BSDEs）和前向-后向随机微分方程（FBSDEs）。其主要贡献在于将非线性期望表示为一族概率测度的上确界，并通过拟连续性刻画了$L^p_G(\Omega)$，从而在模型不确定性下实现了带跳过程的随机微积分构建。

ABSTRACT

The paper considers the integration theory for $G$-Lévy processes with finite activity. We introduce the Itô-Lévy integrals, give the Itô formula for them and establish SDE's, BSDE's and decoupled FBSDE's driven by $G$-Lévy processes. In order to develop such a theory, we prove two key results: the representation of the sublinear expectation associated with a $G$-Lévy process and a characterization of random variables in $L^p_G(Ω)$ in terms of their quasi-continuity.

研究动机与目标

• 为具有有限跳跃活动性的$G$-Lévy过程发展随机积分理论。
• 将伊藤微积分扩展至包含由$G$-Lévy过程驱动的跳跃扩散过程。
• 在非线性期望下建立前向与后向随机微分方程（SDEs、BSDEs、FBSDEs）。
• 提供$G$-期望作为一族概率测度上确界的表示形式。
• 通过拟连续性刻画$L^1_G(\Omega)$空间，从而支持在模型不确定性下的随机变量分析。

提出的方法

• 引入纯跳跃$G$-Lévy过程的跳跃测度的伊藤-列维积分。
• 利用生成元$G_X$的列维-金奇尼公式，推导一般$G$-伊藤-列维过程的伊藤公式。
• 在非线性期望下建立由$G$-Lévy过程驱动的前向与后向SDEs（SDEs、BSDEs、FBSDEs）。
• 证明非线性期望$\mathbb{E}$可表示为普通期望的上确界$\sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[\cdot]$，其中$\mathcal{P}$为随机积分律的集合。
• 通过拟连续性刻画$L^p_G(\Omega)$中的元素，将理论扩展至非线性期望情形。
• 利用$\mathcal{P}$作为随机积分律的表示，证明相关积分-微分方程的粘性解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有有限跳跃活动性的$G$-Lévy过程建立一致的伊藤微积分？
• RQ2 与$G$-Lévy过程相关的非线性期望在何种意义上可表示为一族概率测度的上确界？
• RQ3 如何通过随机变量的拟连续性性质刻画$L^1_G(\Omega)$空间？
• RQ4 带有跳跃的$G$-伊藤-列维过程的伊藤公式具有何种形式？
• RQ5 由$G$-Lévy过程驱动的SDEs、BSDEs与FBSDEs在模型不确定性下表现出何种行为？

主要发现

• 与$G$-Lévy过程相关的非线性期望可表示为一族概率测度的上确界，其中每个测度均为受控过程驱动的随机积分的律。
• $L^1_G(\Omega)$空间通过随机变量的拟连续性得到完全刻画，将经典$L^p$理论推广至非线性设定。
• 为一般$G$-伊藤-列维过程建立了伊藤公式，该公式在模型不确定性下同时纳入扩散与跳跃成分。
• 由$G$-Lévy过程驱动的SDEs、BSDEs与解耦FBSDEs被严格形式化，并在适当条件下证明了解的存在性与唯一性。
• 相关路径相关PDE的值函数被证明为粘性解，其唯一性通过比较原理建立。
• 本文为在波动率与跳跃不确定性下的随机微积分提供了严格基础，使金融建模与随机控制的应用成为可能。