[논문 리뷰] Iterated and Mixed Weak Norms with Applications to Geometric Inequalities

Ting Chen, Wenchang Sun|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 04.

Advanced Harmonic Analysis Research인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 혼합 노름을 가진 레베그 공간에서 반복적이고 혼합된 약한 노름을 도입하고, 이들이 상호 비등가임을 규명하며, 수렴 성질이 서로 다름을 보이며, 헬더 부등식이 특정 색인 조건에서만 성립함을 증명한다. 또한 이 도구들을 활용해 분수 적분 연산자를 통해 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 혼합 약한 공간으로 일반화한다. 일반형과 역형 모두 도출된다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a new weak norm, iterated weak norm in Lebesgue spaces with mixed norms. We study properties of the mixed weak norm and the iterated weak norm and present the relationship between the two weak norms. Even for the ordinary Lebesgue spaces, the two weak norms are not equivalent and any one of them can not control the other one. We give some convergence and completeness results for both weak norms. We study the convergence in truncated norm, which is a substitution of the convergence in measure for mixed Lebesgue spaces. And we give a characterization of the convergence in truncated norm. We show that Hölder's inequality is not always true on mixed weak spaces and we give a complete characterization of indices which admit Hölder's inequality. As applications, we establish some geometric inequalities related to fractional integration in mixed weak spaces and in iterated weak spaces which essentially generalize the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.

연구 동기 및 목표

• 혼합 노름을 가진 레베그 공간에서 반복적이고 혼합된 약한 노름을 정의하고 그 성질을 연구한다.
• 반복적 약한 노름과 혼합 약한 노름이 상호 비등가임을 규명하며, 이는 표준 레베그 공간에서도 마찬가지이다.
• 혼합 레베그 공간에서 측도 수렴의 대체로 잘린 노름에서의 수렴을 특성화한다.
• 혼합 약한 공간에서 헬더 부등식이 성립하는 정확한 색인 조건을 규명한다.
• 분수 적분 연산자를 통해 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 혼합 약한 공간과 반복 약한 공간으로 일반화한다.

제안 방법

• 혼합 약한 노름 $\|f\|_{L^{\vec{p},\infty}} := \sup_{\lambda>0} \lambda \| \chi_{\{|f|>\lambda\}} \|_{L^{\vec{p}}} $ 과 반복 약한 노름 $\|f\|_{L^{p_2}(L^{p_1,\infty})} := \| \|f\|_{L_x^{p_1,\infty}} \|_{L_y^{p_2}} $ 을 도입한다.
• 자르기 수준 집합을 통한 정의에 기반한 잘린 노름에서의 수렴을 분석하고, 이러한 수렴 유형을 완전히 특성화한다.
• 혼합 약한 공간에서 일반적으로 헬더 부등식이 성립하지 않음을 증명하고, 색인 $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ 에 대해 부등식이 성립하는 조건을 완전히 규명한다.
• 분수 적분 연산자 $L_\gamma f(x,y) = f(x,y)/|x-y|^\gamma$ 와 $T_\gamma f(x,y) = f(x,y)/(|x+y|+|x-y|)^\gamma$ 에 이론을 적용하여 혼합 약한 공간으로의 유계성을 보인다.
• 실 interpolation과 대칭 감소 재배열 부등식을 사용하여 $0 < p_1, p_2 < 1$ 인 경우에 대해 역 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 유도한다.
• 쌍대성과 interpolation 기법을 통해 최적 상수와 색인 조건을 규명하며, 주요 정리에서 $L^{p_{1},\infty}(L^{p_{2},\infty})$ 노름의 사용을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 레베그 공간에서 반복 약한 노름과 혼합 약한 노름은 등가인가?
• RQ2 혼합 약한 레베그 공간에서 헬더 부등식이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 분수 적분 연산자를 통해 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 혼합 약한 공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 혼합 레베그 공간에서 잘린 노름에서의 수렴은 정확히 어떻게 특성화되는가?
• RQ5 $0 < p_1, p_2 < 1$ 인 경우 혼합 약한 노름에서 역 하디-리틀우드-소볼레프 부등식이 성립하는가?

주요 결과

• 반복 약한 노름과 혼합 약한 노름은 등가가 아니며, 일반적으로 상호 간에 제어하지 못한다. 이는 표준 레베그 공간에서도 마찬가지이다.
• 헬더 부등식이 혼합 약한 공간에서 성립하는 것은 $1/p_1 + 1/p_2 = 1/q_1 + 1/q_2 + \gamma/n$ 이며, $\gamma = n(2 - 1/p_1 - 1/p_2)$ 를 만족할 때에만 성립하며, 이 외의 경우 실패한다.
• 분수 적분 연산자 $T_\gamma f(x,y) = f(x,y)/(|x+y|+|x-y|)^\gamma$ 는 $\|T_\gamma f\|_{L^{\vec{q},\infty}} \lesssim \|f\|_{L^{\vec{p},\infty}}$ 를 만족한다. 이는 $1/p_1 + 1/p_2 = 1/q_1 + 1/q_2 + \gamma/n$ 일 때에만 성립하며, 이 조건은 최적이다.
• 고전적 하디-리틀우드-소볼레프 부등식은 정리 3.4의 주요 결과의 특수한 경우로 복원되며, $0 < p_1, p_2 < 1$ 인 경우는 interpolation과 재배열 기법을 통해 역 부등식이 증명된다.
• 잘린 노름에서의 수렴은 혼합 레베그 공간에서 측도 수렴과 등가이며, 반복적 및 혼합 약한 노름에 대해 완비성 결과가 증명된다.
• $0 < p_1, p_2 < 1$ 인 경우 역 하디-리틀우드-소볼레프 부등식은 $\|T^{-1}_\gamma(f \otimes g)\|_{L^1(L^1)} \gtrsim \|f\|_{L^{p_1}}\|g\|_{L^{p_2}}$ 를 만족하며, 이는 interpolation과 대칭 감소 재배열을 통해 증명된다.