[논문 리뷰] Ito and Stratonovich calculuses in stochastic field theory

Juha Honkonen|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 함수적 적분 형식의 확률적 장 이론에 대한 모호함을 해결하기 위해, 전파함수의 초기값과 결정론적 항의 선택에 기반하여 이토와 스트라토노비치 해석에 해당하는 두 가지 다른 동적 작용을 유도한다. 이는 양식이 동일한 섭동 해를 제공하며, 이토 작용은 더 깔끔한 구조와 임의의 순환 그래프의 부재로 인해 비섭동 계산에 더 적합하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Ambiguities in the functional-integral solution of the stochastic differential equation (SDE) arising due to the definition on the functional Jacobi determinant and the white-in-time limit in the noise are analyzed and two forms of the de Dominicis-Janssen dynamic action proposed corresponding to the Ito and Stratonovich interpretations of the SDE.

연구 동기 및 목표

• 함수적 야코비안 행렬식과 시간에 따라 흰 잡음이 있는 경우 발생하는 확률적 미분 방정식(SDE)의 기능적 적분 해에 기인한 모호함을 해결하기 위해.
• 흰 잡음이 있는 랑주뱅 방정식의 수학적 비일관성과 그 경로 적분 형식에 대한 영향을 명확히 하기 위해.
• 이토 및 스트라토노비치 해석 모두에서 동적 작용을 구성하기 위한 통합된 프레임워크를 수립하기 위해.
• 전파함수의 초기값 Δ(0)과 결정론적 항의 선택이 동적 작용의 형태를 결정한다는 것을 보여주기 위해.
• 섭동 해는 동일하지만, 이토 형태가 비섭동 평가에 더 적합하다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 함수적 적분 표현을 통해 De Dominicis-Janssen 동적 작용을 유도하며, Tr ln M의 루프 전개를 통해 야코비안 행렬식을 포함한다.
• Δ(0) 값이 다른 두 동적 작용을 도입한다: 이토의 경우 Δ(0) = 0, 스트라토노비치의 경우 Δ(0) = ½δ(x−x′)로, 각각 SDE의 다른 해석에 대응한다.
• 포커-플랑크 방정식과 연산자 방법을 사용하여 동적 작용과 기저 확률 과정을 연결한다.
• 이토-스트라토노비치 대응을 적용하여 동적 작용을 변환하며, 이토 형태에 추가 항 ΔS = ½ φ̃b′Db 가 존재함을 확인한다.
• 소음 장 f가 평균이 0이고 가우시안 통계를 가지는 함수적 적분을 통해 생성 함수를 구성한다.
• 야코비안 항에서 유래한 임의의 순환 그래프가 정점 기여와 상쇄되어 올바른 반복 해가 복원됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SDE의 기능적 적분 형식에서 기능적 야코비안과 흰 잡음으로 인해 발생하는 모호함은 어떻게 유래되는가?
• RQ2 전파함수의 초기값 Δ(0)이 동적 작용의 형태를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 동일한 SDE에 대한 이토 및 스트라토노비치 해석이 서로 다른 동적 작용을 어떻게 유도하는가?
• RQ4 왜 이토 형태의 동적 작용이 스트라토노비치 형태보다 비섭동 계산에 더 적합한가?
• RQ5 이토 및 스트라토노비치 작용을 연결하는 보정 항 ΔS의 정확한 수학적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• SDE의 기능적 적분 해는 잡음 통계와 무관하게 야코비안 행렬식의 모호함을 보이며, 이는 결정론적 방정식에서도 발생한다.
• 시간에 따라 흰 잡음으로 인한 모호함은 이토와 스트라토노비치의 두 가지 해석으로 이어지며, 각각 다른 동적 작용에 대응한다.
• 이토 동적 작용은 S′[φ,φ̃,f] = −½fD⁻¹f + φ̃[−∂tφ − Kφ + U(φ) + ½b′Db + fb(φ)] 로 주어지며, Δ(0) = 0 이다.
• 스트라토노비치 동적 작용은 S′′[φ,φ̃,f] = −½[U′(φ) + ¼b′Db′ + b′f] − ½fD⁻¹f + φ̃[−∂tφ − Kφ + U(φ) + fb(φ)] 로 주어지며, Δ(0) = ½δ(x−x′) 이다.
• 두 동적 작용은 임의의 순환 그래프가 야코비안 항의 기여와 정점 기여로 상쇄되어 동일한 섭동 해를 제공한다.
• 이토 형태는 더 단순한 구조와 임의의 항의 부재로 인해 인stanton 계산 또는 수치적 통합과 같은 비섭동 방법에 더 신뢰할 수 있다.