[논문 리뷰] Jaynes-Cummings model without rotating wave approximation. Asymptotics of eigenvalues

É. A. Tur|ArXiv.org|2002. 11. 22.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 원자 전이 주파수 ω₀를 작은 매개변수로 삼아, 회전파프록시메이션(RWA)을 사용하지 않은 제이نز-커밍스 모델을 분석하기 위한 변동 이론을 개발한다. 고역량 수준에서 고유값의 정확한 점근적 행동을 유도하여, 반대방향 전환 항이 점근 전개의 두 번째 항을 변화시킴을 보여주며, 이는 RWA 예측과는 달리 큰 n에서 분리가 사라짐을 의미한다.

ABSTRACT

In this paper the perturbation theory with the frequency of transition in atom as perturbation parameter is constructed. The estimation of the reminder term of series of this perturbation theory is given. With the help of this perturbation theory we have found an exact asymptotics of eigenvalues of complete hamiltonian in the limit of high quantum numbers. It is shown that the counter-rotating terms keep a leading term but absolutely change a second term of this asymptotic.

연구 동기 및 목표

• RWA 없이 제이즈-커밍스 해밀토니안을 분석하고, 특히 고역량 수준에서의 행동을 다루기.
• 큰 필드 에너지에서 RWA의 붕괴를 다루며, 반대방향 전환 항이 중요해지는 상황을 고려하기.
• g/ω가 작지 않은 경우에도 유효한 ω₀를 작은 매개변수로 사용하는 변동 이론을 수립하기.
• 고역량 수준에 대한 고유값의 점근 전개를 유도하고, RWA 예측과 비교하기.
• 변동 급수의 나머지 항을 추정하고 수렴 조건을 설정하기.

제안 방법

• 해밀토니안을 무한한 자지 바이어제이 매트릭스 H₁과 H₂로 표현하는 두 개의 불변 부분공간으로 분해한다.
• H = A₀ + ω₀P₁ 및 H = A₀ + ω₀P₂로 표현하며, 여기서 A₀는 이동된 진동자 해밀토니안이고 P₁, P₂는 대각형 프로젝터이다.
• 보골루브 표준 변환을 사용해 A₀를 대각화하여 고유값 λₘ = ω₀ + mω − g²/ω와 일반화된 라게르의 다항식으로 표현된 고유벡터를 구한다.
• ω₀의 거듭제곱에 따른 변동 이론을 적용하고, 재귀적 추적 공식을 통해 고유값 보정을 계산한다.
• 경로 적분 표현과 행렬 원소의 경계를 사용해 급수의 나머지 항을 추정한다.
• ω₀ ≤ ω√3/(2π)일 때 변동 급수가 수렴함을 증명하며, 나머지 항이 기하급수 유사 급수로 경계됨을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RWA를 적용하지 않은 제이즈-커밍스 해밀토니안의 고유값은 고역량 수준에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 RWA와 비교할 때 반대방향 전환 항은 고유값의 점근 전개에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 g/ω가 작지 않은 경우에도 ω₀를 작은 매개변수로 삼는 변동 이론이 고에너지 고유상태를 기술할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크에서 변동 급수의 수렴 행동과 나머지 항 추정은 어떻게 되는가?
• RQ5 비RWA 영역에서 고역량 수준에서의 분리가 RWA 예측과 어떻게 다를까?

주요 결과

• m → ∞ 일 때 고유값의 주요 점근적 행동은 λₘ ∼ mω + 3ω₀/2 − g²/ω 로, 부분공간(H₁ 또는 H₂)과 무관하게 동일하다.
• 두 번째 보정 항은 RWA와 질적으로 다름: √m에 따라 증가하는 대신, 일정한 값이다.
• 연속된 수준 간의 분리 Δₘ = λ₂ₘ₊₂ − λ₂ₘ₊₁ 은 m → ∞ 일 때 ω로 수렴하여, 무한한 증가가 아니라趋세가 있음을 나타낸다.
• ω₀ ≤ ω√3/(2π) ≈ 0.23ω 일 때 변동 급수가 수렴하며, 나머지 항은 기하급수 유사 급수로 경계됨.
• 수치적 증거는 점근 공식이 엄격한 수렴 경계를 초과할 때에도 여전히 유효함을 시사한다.
• 반대방향 전환 항은 주요 항을 유지하지만, 두 번째 항을 근본적으로 변화시켜 RWA와는 질적으로 다른 고n 행동을 이끌어낸다.