[논문 리뷰] Jitter in Dynamical Systems with Intersecting Discontinuity Surfaces

Mike R. Jeffrey, Georgios Kafanas외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 13.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 다중 교차하는 불연속성 표면을 가진 조각별로 스무스한 동역학계에서의 잼프(jitter)—불규칙하고 민감한 스위칭 동역학—을 조사한다. 히스테리시스, 시간 지연, 이산화와 같은 편미분을 분석함으로써 저자들은 슬라이딩 운동이 벡터장의 변화에 매우 민감해지며, 이로 인해 복잡한 안착점과 혼돈된 행동이 발생함을 보여주며, 편미분 크기가 0으로 수렴하는 극한에서 슬라이딩 해가 캐논칼 필리포프 또는 캐노피 해와 크게 다를 수 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

Mathematical models involving switches --- in the form of differential equations with discontinuities --- can accomodate real-world non-idealities through perturbations by hysteresis, time-delay, discretization, and noise. These are used to model the processes associated with switching in electronic control, mechanical contact, predator-prey preferences, and genetic or cellular regulation. The effect of such perturbations on rapid switching dynamics about a single switch are somewhat benign: in the limit that the size of the perturbation goes to zero the dynamics is given by Filippov's sliding solution. When multiple switches are involved, however, perturbations can have complicated effects, as shown in this paper. In the zero-perturbation limit, hysteresis, time-delay, and discretization cause erratic variation or `jitter' for stable sliding motion, whilst noise generates a relatively regular sliding solution similar to the canopy solution (an extension of Filippov's solution to multiple switches). We illustrate the results with a model of a switched power circuit, and showcase a variety of complex phenomena that perturbations can generate, including chaotic dynamics, exit selection, and coexisting sliding solutions.

연구 동기 및 목표

• 다중 불연속성 표면이 교차할 때 조각별로 스무스한 시스템에서 슬라이딩 운동의 강건성 이해.
• 비이상적인 스위칭 메커니즘—히스테리시스, 시간 지연, 이산화—이 이상화된 필리포프 해와 비교해 슬라이딩 동역학을 어떻게 변화시키는지 조사.
• 교차하는 스위치가 있는 시스템에서 편미분에 의해 발생하는 잼프와 혼돈된 행동의 기원을 설명.
• 편미분이 가해진 시스템에서의 안착점이 벡터장만으로는 예측 불가능하며, 스위칭 메커니즘의 동역학에 의존함을 보여줌.
• 특히 히스테리시스나 이산화가 있을 경우 슬라이딩 속도와 궤적은 캐노피 해에서 크게 벗어날 수 있음을 보여줌.

제안 방법

• 표면 Σ₁,…,Σₘ에서 불연속성이 존재하는 조각별로 스무스한 상미분 방정식 모델을 사용하며, 각 2^m 영역에서 벡터장 f(x)는 스무스하다.
• 시스템을 정규화하기 위해 스무스 전이(sigmoidal transition), 히스테리시스(ε 너비의 이중 안정성 스위칭), 시간 지연, 이산화와 같은 편미분을 적용.
• 편미분 크기 ε → 0일 때의 편미분 시스템의 극한을 통해 슬라이딩 운동을 정의하며, 필리포프의 볼록 조합에 의존하지 않음.
• 히스테리시스의 경우 원환면 맵을 사용해 동역학을 분석함으로써 스위칭 배수자 λ가 1차원 맵에서 분기하는 것을 보여줌.
• 편미분된 슬라이딩 해를 이상화된 필리포프 해와 캐노피 해(벡터장의 볼록 hull)와 비교함.
• 스위치된 파wr 회로 모델을 활용한 수치 시뮬레이션을 통해 잼프, 안착점의 구조, 스위칭 주파수를 시각화함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히스테리시스나 시간 지연은 다중 불연속성 표면의 교차선을 따라 슬라이딩 운동의 안정성과 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 왜 편미분(예: 히스테리시스) 하에서의 슬라이딩 해가 표준 필리포프 또는 캐노피 해에서 벗어나는가?
• RQ3 슬라이딩 벡터장에서의 '잼프'는 무엇을 원인으로 하고 있으며, 스위칭 동역학의 분기와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 편미분이 가해진 시스템(예: 히스테리시스)에서의 안착점은 효과적인 슬라이딩 속도와 궤적에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 슬라이딩 동역학은 벡터장만으로 얼마나 예측 가능한가, 아니면 스위칭 메커니즘이 자체적으로 행동을 지배하는가?

주요 결과

• 잼프는 다중 스위치가 교차할 때 특히 작은 벡터장 변화에 대한 슬라이딩 해의 민감성으로 인해 발생한다.
• 히스테리시스 하에서는 스위칭 배수자 λᵢ를 결정하는 안착점으로 시스템이 진화하며, 이는 캐노피 또는 필리포프 해로 주어지지 않는다.
• 히스테리시스 케이스의 안착점은 연속적이며 조각별 미분 가능한 원환면 맵의 해이며, 매개변수가 변화함에 따라 분기한다.
• 수치 시뮬레이션 결과 ε = √2/10³일 때 슬라이딩 속도가 ε → 0 극한과 매우 유사하게 나타나 이상화된 안착점으로 수렴함을 보여줌.
• 시스템은 혼돈된 동역학과 출구 선택을 보이며, 스위칭 주파수는 5 kHz에서 25 kHz 사이로 실제 전자 스위치의 범위 내에 있다.
• 모의 궤적은 캐노피 해에서 크게 벗어나 볼록 hull의 큰 부분을 탐색함으로써 안착점이 효과적인 동역학을 지배함을 확인함.