[논문 리뷰] Joint distribution of a spectrally negative Lévy process and its occupation time, with step option pricing in view

Hélène Guérin, Jean‐François Renaud|Archipelago (Université du Québec à Montréal)|2014. 06. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르allly 음성 레비 과정과 그가 유한 구간에 머무른 시간의 동시 라플라스 변환을 스케일 함수를 사용하여 닫힌 형태로 표현함으로써 유한 구간 내에서의 스텝 옵션 가격 정책을 위한 유용한 공식을 도출한다. 주요 기여는 특히 초기수분포가 초기수분포를 갖는 점프-확산 과정에 대해 스텝 옵션을 가격 정책하는 데 유용한 간단한 공식을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

For a spectrally negative Lévy process $X$, we study the following distribution: $$ \mathbb{E}_x \left[ \mathrm{e}^{- q \int_0^t \mathbf{1}_{(a,b)} (X_s) \mathrm{d}s } ; X_t \in \mathrm{d}y ight], $$ where $-\infty \leq a < b < \infty$, and where $q,t>0$ and $x \in \mathbb{R}$. More precisely, we identify the Laplace transform with respect to $t$ of this measure in terms of the scale functions of the underlying process. Our results are then used to price step options and the particular case of an exponential spectrally negative Lévy jump-diffusion model is discussed.

연구 동기 및 목표

• 유한 구간 내에서 스펙트르allly 음성 레비 과정과 그 점유 시간의 동시 분포에 대한 시간에 대한 라플라스 변환을 유도하는 것.
• 기초가 되는 레비 과정의 스케일 함수를 사용하여 동시 분포에 대한 닫힌 형태의 표현을 제공하는 것.
• 스펙트르allly 음성 레비 과정에 의해 구동되는 금융 모델에서 스텝 옵션의 가격 정책을 가능하게 하는 것.
• 기존의 변동성 정체성들을 고정된 수명 주기의 점유 시간 분포로 확장하여 아크사인 법칙과 금융 응용 간의 다리를 놓는 것.
• 실제 옵션 가격 정책에 적용 가능한, 초기수분포가 초기수분포를 갖는 스펙트르allly 음성 레비 점프-확산 모델의 특수한 경우를 분석하는 것.

제안 방법

• 스펙트르allly 음성 레비 과정에 대한 스케일 함수 이론을 사용하여 과정과 그 점유 시간의 동시 분포를 특성화하는 것.
• 스케일 함수와 그 변종을 사용하여 동시 라플라스 변환을 표현하기 위해 확률적 분해 기법을 적용하는 것.
• 스케일 함수를 포함하는 프레드홀름 유형 적분 방정식의 해를 통해 점유 시간 측도의 라플라스 변환을 도출하는 것.
• 유한 변동성 레비 과정의 수열을 사용한 근사 기법을 활용하여, 유한 변동성에서 무한 변동성 경로로 결과를 확장하는 것.
• 점유 시간 영향을 통합하는 데 일반화된 스케일 함수를 도입하기 위해 보조 함수 $ \mathcal{H}^{(p,q)} $ 및 $ \mathcal{W}^{(p,q)} $ 를 도입하는 것.
• 콤���트 구간에서 거의 확실한 균일 수렴과 라플라스 변환의 연속성을 사용하여 근사 과정이 원래 과정으로 수렴함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 구간 내에서 스펙트르allly 음성 레비 과정과 그 점유 시간의 동시 분포는 닫힌 형태로 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 스펙트르allly 음성 레비 과정에 대해, 고정된 시간에서의 과정 값 조건 하에 점유 시간 측도의 라플라스 변환은 무엇인가?
• RQ3 스케일 함수는 레비 과정의 변동 이론에서 점유 시간 역학을 통합하기 위해 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 경로의 변동성(유한 vs. 무한)은 동시 분포와 그 라플라스 변환에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유도된 공식은 스펙트르allly 음성 레비 과정에 의해 구동되는 금융 모델에서 스텝 옵션을 어떻게 가격 정책하는 데 응용할 수 있는가?

주요 결과

• 동시 분포의 라플라스 변환은 스케일 함수 $ W^{(p)} $, $ W^{(p+q)} $ 및 보조 함수 $ \mathcal{H}^{(p,q)} $, $ \mathcal{W}^{(p,q)} $ 를 사용하여 표현된다.
• 유한 및 무한 변동성 경로의 경우 모두, 유한 변동성 과정의 수열을 사용한 근사 기법을 통해 공식이 유효하다.
• 근사 과정의 수렴은 무한 변동성 케이스에서 최종 표현의 타당성을 보장한다.
• 초기수분포가 초기수분포를 갖는 점프-확산 모델의 경우, 스케일 함수는 명시적인 표현을 갖으며, 이는 명시적인 옵션 가격 정책 공식을 가능하게 한다.
• 동시 분포는 스케일 함수와 그 도함수에 따라 결정되는 계수를 갖는 $ \mathcal{H}^{(p,q)} $, $ \mathcal{W}^{(p,q)} $, 및 $ W^{(p)} $ 의 조합으로 주어진다.
• 결과는 고전적인 아크사인 법칙과 변동성 정체성을 고정 수명 주기, 점유 시간 의존성 분포로 일반화한다.