[논문 리뷰] Journal of Intelligent Materials Systems and Structures / High-order mixed finite elements for an energy-based model of the polarization process in ferroelectric materials

Astrid Pechstein, Martin Meindlhumer외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Numerical methods in engineering참고 문헌 42인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유전율 변위와 변형을 주요 미지수로 다루고 나머지 분극화를 내부 변수로 취하는 에너지 기반 페로일렉트릭 분극화 모델을 위한 고차수 혼합 유한요소법을 제시한다. 이 방법은 정규화된 변분 형식과 일치하는 유한요소를 사용하여 가우스의 법칙을 정확히 만족시키며, 모든 필드를 일괄적인 뉴턴 해법으로 풀 수 있고, 비비례하지 않는 하중 및 매크로섬유 복합체의 등效화를 Netgen/NGSolve에서 정확하게 시뮬레이션할 수 있다.

ABSTRACT

An energy-based model of the ferroelectric polarization process is presented in the current contribution. In an energy-based setting, dielectric displacement and strain (or displacement) are the primary independent unknowns. As an internal variable, the remanent polarization vector is chosen. The model is then governed by two constitutive functions: the free energy function and the dissipation function. Choices for both functions are given. As the dissipation function for rate-independent response is non-differentiable, it is proposed to regularize the problem. Then, a variational equation can be posed, which is subsequently discretized using conforming finite elements for each quantity. We point out which kind of continuity is needed for each field (displacement, dielectric displacement and remanent polarization) is necessary to obtain a conforming method, and provide corresponding finite elements. The elements are chosen such that Gauss’ law of zero charges is satisfied exactly. The discretized variational equations are solved for all unknowns at once in a single Newton iteration. We present numerical examples gained in the open source software package Netgen/NGSolve.

연구 동기 및 목표

• . 열역학적으로 일관된 에너지 기반 모델을 개발하여, 유전율 변위와 변형을 주요 미지수로 한다.
• . 잔류 분극화를 자유 에너지와 소산 함수에 의해 지배되는 내부 변수로 통합한다.
• . 비차별 가능한 비례 소산 함수를 정규화하여 변분 형식화를 가능하게 하고, 안정적인 뉴턴 반복을 확보한다.
• . 유전율 변위에 대해 가우스의 법칙을 정확히 만족시키는 고차수 일치 유한요소를 설계한다.
• . 비례하지 않는 하중 및 매크로섬유 복합체의 등효율화를 위한 구현 및 검증을 개방소스 NGSolve를 사용하여 수행한다.

제안 방법

• . 비례하지 않는 거동에 대해 비연속 소산 함수를 갖는 자유 에너지 함수 ψ(S, D, Pi)를 사용하여 페로일렉트릭 문제를 수립한다.
• . 비연속 소산 함수를 정규화하여 매끄러운 변분 형식화와 뉴턴 반복을 가능하게 한다.
• . 이동, 유전율 변위, 잔류 분극화를 위한 일치하는 유한요소를 사용하는 혼합 유한요소법을 적용하여, 일치 방법의 연속성 조건을 만족시킨다.
• . 유전율 변위를 위해 벡터 유한요소를 사용하여 약한 형식에서 ∇·D = 0 (가우스의 법칙)을 정확히 구현한다.
• . 모든 미지수에 대한 완전히 결합된 방정식계를 단일 뉴턴 반복으로 동시에 풀어내는 방법을 사용한다.
• . 고차수 요소와 적응 메esh를 사용하여 개방소스 NGSolve 유한요소 패키지에 이 방법을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 유전율 변위와 변형을 주요 미지수로 하는 열역학적으로 일관된 에너지 기반 페로일렉트릭 분극화 모델을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 . 유전율 변위에 대해 가우스의 법칙을 정확히 만족시키면서 일치한 이산화를 보장하기 위해 필요한 유한요소 공간은 무엇인가?
• RQ3 . 비례하지 않는 페로일렉트릭 거동에서 비연속 소산 함수를 어떻게 정규화하여 안정적인 뉴턴 해법을 확보할 수 있는가?
• RQ4 . 일괄적인 뉴턴 솔버는 이동, 유전율 변위, 잔류 분극화의 완전히 결합된 시스템을 효율적으로 처리할 수 있는가?
• RQ5 . 이 모델은 비비례하지 않는 하중과 매크로섬유 복합체의 등효율적 성질을 얼마나 정확하게 예측할 수 있는가?

주요 결과

• . 모델은 히스테리시스 분극화 거동을 성공적으로 재현하였으며, 포일딩 전계에서 잔류 분극화는 0.255 C/m²에 도달하여 실험적 포화 값과 일치한다.
• . 등효율적 압전 상수 d33은 3.16×10⁻¹⁰ m/V로 계산되었으며, 전극 근처에서 비균일한 분극화와 전계의 불일치로 인해 [12]의 추정치보다 略적으로 낮았다.
• . 등효율적 유전율 ϵT₃₃는 2003ϵ₀로 계산되었으며, 선형 값보다 略적으로 높아 전계 의존적인 유전율 반응을 나타낸다.
• . 횡방향 압전 상수 d32는 -1.155×10⁻¹⁰ m/V로 계산되어 복합체에서 강한 결합성과 비대칭성을 보였다.
• . 일致한 탄성 모듈러스와 일괄적 해법 전략 덕분에 뉴턴-라프슨 반복에서 빠른 수렴을 달성하였다.
• . 적절한 라비아르트-톰슨 유형의 요소를 사용한 유한요소 형식은 유전율 변위에 대해 가우스의 법칙 ∇·D = 0을 정확히 구현한다.