[논문 리뷰] $k$-Indivisible Noncrossing Partitions

Henri Mühle, Philippe Nadeau외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 11.

semigroups and automata theory인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 블록 크기와 블록 내 연속 차이가 모두 $k$에 대해 1과 합동인 $k$-나누어지지 않는 비교결 분할—$[kn+1]$의 비교결 집합 분할—을 도입하고 연구한다. 저자들은 이러한 분할과 특정 격자 경로 사이의 전단사 관계를 확립하고, $N = kn+1$일 때 $\frac{2}{N+1}\binom{N+n}{n}$로 계수됨을 증명하며, $k$-주차 함수, 칸브리아니 격자, 비포화 대응 구조를 통해 고전적 비교결 분할의 구조를 이 새로운 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

For a fixed integer $k$, we consider the set of noncrossing partitions, where both the block sizes and the difference between adjacent elements in a block is $1\bmod k$. We show that these $k$-indivisible noncrossing partitions can be recovered in the setting of subgroups of the symmetric group generated by $(k+1)$-cycles, and that the poset of $k$-indivisible noncrossing partitions under refinement order has many beautiful enumerative and structural properties. We encounter $k$-parking functions and some special Cambrian lattices on the way, and show that a special class of lattice paths constitutes a nonnesting analogue.

연구 동기 및 목표

• 블록 크기와 연속 차이가 모두 $k$에 대해 1과 합동인 새로운 비교결 분할의 클래스를 정의하고 특성화하기.
• 이 분할과 $(k+1)$-순환으로 생성된 대칭군의 부분군 사이의 연결 고리를 확립하기.
• 고전적 비교결 분할의 구조—예를 들어 주차 함수, 칸브리아니 격자, 비포화 분할—을 $k$-나누어지지 않는 설정으로 일반화하기.
• 이러한 분할과 그 다중사슬의 수를 계수하는 계수 공식을 증명하기.
• 순서 복합체의 EL-쉘러블리티와 호모토피 유형과 같은 위상적 성질에 대한 추측을 내기.

제안 방법

• 모든 순환과 그 Kreweras 여명의 길이가 $\equiv 1 \pmod{k}$인 비교결 분할로 $k$-나누어지지 않는 비교결 분할을 정의하기.
• 장순환을 $(k+1)$-순환의 인수분해에 대한 Hurwitz 작용을 사용하여 순서구조를 특성화하기.
• 최대 사슬과 $k$-주차 함수 사이의 전단사 관계를 확립하기.
• 삼각형 순서집합의 순서 이상으로 비포화 대응 구조를 구성하고, 이가 $k$-나누어지지 않는 비교결 분할과 전단사 관계에 있음을 보이기.
• 경로가 경계 경로 위에 약하게 위치한 격자 경로의 재귀적 분해를 통해 계수 공식을 증명하기.
• 행렬식 공식과 재귀관계를 적용하여 경로 수의 닫힌 형식을 유도하고 조합적 항등식을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 블록 크기와 연속 차이가 $\equiv 1 \pmod{k}$인 비교결 분할의 조합적 특성은 무엇인가?
• RQ2 $k$-나누어지지 않는 비교결 분할의 순서집합은 어떻게 계수할 수 있으며, 그의 제타 다항식은 무엇인가?
• RQ3 이 새로운 분할 클래스로 일반화된 $k$-주차 함수가 존재하는가? 그리고 최대 사슬과의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비포화 대응 구조를 $k$-나누어지지 않는 비교결 분할로 구성할 수 있으며, 이는 비교결 형태와 전단사 관계에 있는가?
• RQ5 순서집합 $\mathrm{NC}_{N;k}$는 EL-라벨링을 갖는가? 그리고 그 순서 복합체(최소 및 최대 원소 제외)의 호모토피 유형은 무엇인가?

주요 결과

• $[kn+1]$에서의 $k$-나누어지지 않는 비교결 분할의 수는 $\frac{2}{kn+2}\binom{kn+n+1}{n}$이며, $N = kn+1$이다.
• 순서집합 $\mathrm{NC}_{N;k}$는 제타 다항식 $Z_{N;k}(q+1) = \frac{q+1}{Nq+1}\binom{Nq+n}{n}$로 계수되며, 고전 공식을 일반화한다.
• $\mathrm{NC}_{N;k}$의 최대 사슬과 $k$-주차 함수 사이에 전단사 관계가 존재하며, [30]의 결과를 확장한다.
• $k$-나누어지지 않는 비교결 분할의 비포화 대응 구조는 삼각형 순서집합의 순서 이상과 전단사 관계에 있으며, 동일한 공식으로 계수된다.
• 이러한 순서 이상의 수는 이항계수를 포함하는 행렬식 공식으로 주어지며, 재귀관계를 이끌어낸다.
• 저자들은 $\mathrm{NC}_{N;k}$가 EL-쉘러블리며, 그 순서 복합체(최소 및 최대 원소 제외)가 구들의 와이드와 호모토피 동치임을 추측한다.