[논문 리뷰] Kac-Moody and Virasoro algebras

Antony Wassermann|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 08.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 고드워드–켄트–올리브 및 카자마–스즈끼 코셋 구조에 영감을 받아 초대칭과 디랙 연산자 기법을 사용하여 아핀 카크–무디 및 바이라소르 대수의 유니터리 표현 이론을 개발한다. 주요 결과로는 카크의 특징 공식, 프리드안–큐우–셴커의 유니터리성 기준, 그리고 양의 에너지 표현에 대한 'ghost가 없는 정리'를 확립한다.

ABSTRACT

These are the notes for a Part III course given in the University of Cambridge in autumn 1998. They contain an exposition of the representation theory of the Lie algebras of compact matrix groups, affine Kac-Moody algebras and the Virasoro algebra from a unitary point of view. The treatment uses many of the methods of conformal field theory, in particular the Goddard-Kent-Olive construction and the Kazami-Suzuki supercharge operator, a generalisation of the Dirac operator. The proof of the Weyl character formula is taken from unpublished notes of Peter Goddard. The supersymmetric proof of the Kac character formula for affine Kac-Moody algebras was also found independently at roughly the same time by Greg Landweber in his Harvard Ph.D. dissertation. One of the main novelties of this approach is a very rapid proof of the Feigin-Fuchs character formula for the discrete series representations of the Virasoro algebra. It relies only on the first part of the Friedan-Qiu-Shenker unitarity theorem placing restrictions on the parameter h. Their result, which only uses elementary properties of plane curves, is presented in detail in these notes along with the somewhat harder result for c. A substantially shorter treatment is possible if the final goal is just the Feigin-Fuchs formula, since in that case only the representation theory of affine sl(2) is needed (cf the MSRI summer course given in 2000, http://www.msri.org/publications/ln/msri/2000/opal/wassermann/). The same method has been applied by S. Palcoux to the Neveu-Schwarz algebra and also works for the N=2 superconformal algebra.

연구 동기 및 목표

• 초대칭을 사용하여 아핀 카크–무디 및 바이라소르 대수의 유니터리 표현 이론을 개발한다.
• 디랙 연산자와 지수 이론을 통해 양의 에너지 표현의 기하학적 및 대수적 프레임워크를 제공한다.
• 초전하 연산자와 스펙트럼 분석을 사용하여 특징 공식과 유니터리성 기준을 유도한다.
• 아핀 카크–무디 대수의 유니터리 양의 에너지 표현에 대해 'ghost가 없는 정리'를 확립한다.
• 양자화와 지수론적 방법을 통해 유한차원 리 이론과 무한차원 등각장 이론을 연결한다.

제안 방법

• 유한차원에서 페르미온 및 보존 양자화를 사용하여 스핀군과 메타플레크틱 군을 구성한다.
• 디랙 연산자와 그 제곱을 적용하여 웨일의 특징 공식과 카시미르 고유값을 유도한다.
• 카자마–스즈끼 및 고드워드–켄트–올리브 구조에서 유래한 초전하 연산자를 사용하여 유니터리성을 분석한다.
• 카크 행렬식 공식과 스펙트럼 투영 기법을 활용하여 버마 모듈 구조를 연구한다.
• 이중중심정리와 클리퍼드 대수 형식을 사용하여 스핀 표현을 정의한다.
• 수가라 구조를 적용하여 바이라소르 대수를 $L_0$를 통해 아핀 카크–무디 대수에 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 초대칭을 사용하여 아핀 카크–무디 대수의 표현 이론을 체계적으로 발전시킬 수 있는가?
• RQ2 디랙 연산자와 그 제곱은 특징 공식과 카시미르 고유값을 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 카크 행렬식과 프리드안–큐우–셴커 기준은 바이라소르 표현에서 유니터리성을 어떻게 결정하는가?
• RQ4 'ghost가 없는 정리'는 양의 에너지 표현의 유니터리성을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 행렬 $M_N(c,h)$의 스펙트럼 성질은 버마 모듈과 그 부분모듈의 구조를 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 카크 특징 공식은 초전하 연산자와 디랙 연산자의 스펙트럼 분석을 통해 유도된다.
• 프리드안–큐우–셴커의 유니터리성 기준은 중심 전하 $c$와 최소 무게 $h$ 모두에 대해 확립된다.
• 양의 에너지 표현에 대해 'ghost가 없는 정리'가 증명되었으며, 이는 음의 노름 상태가 존재하지 않음으로써 유니터리성이 보장됨을 의미한다.
• 행렬 $M_N(c,h)$는 곡선 $C_{p'q'}$ 위에서 일차원 핵을 가지며, $c=1$에서 행렬식의 부호가 바뀌어 스펙트럼 전이를 나타낸다.
• 스펙트럼 투영 $P(z)$는 $C_{p'q'}$ 근처에서 연속적이고 잘 정의되어 있으며, $P(z)A(z) = A(z)P(z) = \lambda(z)P(z)$ 이고, $c<1$ 쪽에서는 $\lambda(z) < 0$ 이다.
• 초전하 연산자의 제곱은 음이 아닌 연산자이며, 그 핵은 다중도 공간 내 최고 무게 상태에 대응한다.