[論文レビュー] Karhunen-Loeve expansions of alpha-Wiener bridges

Mátyás Barczy, Endre Iglói|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、平均回帰型のドリフトを持つストキャスティック微分方程式によって定義されるガウス過程である $\alpha$-ウィーナー・ブリッジの明示的な重み付きおよび重みなしカラフネン＝ローベ展開を導出する。主な貢献は、ベッセル関数の性質と共分散作用素のスペクトル解析を用いて、プロセスの $L^2[0,T]$-ノルムの二乗の正確なラプラス変換および小・大偏差の漸近的挙動を導出することにある。

ABSTRACT

We study Karhunen-Loeve expansions of the process $(X_t^{(α)})_{t\in[0,T)}$ given by the stochastic differential equation $dX_t^{(α)} = -\fracα{T-t} X_t^{(α)} dt+ dB_t,$ $t\in[0,T),$ with an initial condition $X_0^{(α)}=0,$ where $α>0,$ $T\in(0,\infty)$ and $(B_t)_{t\geq 0}$ is a standard Wiener process. This process is called an $α$-Wiener bridge or a scaled Brownian bridge, and in the special case of $α=1$ the usual Wiener bridge. We present weighted and unweighted Karhunen-Loeve expansions of $X^{(α)}$. As applications, we calculate the Laplace transform and the distribution function of the $L^2[0,T]$-norm square of $X^{(α)}$ studying also its asymptotic behavior (large and small deviation).

研究の動機と目的

• 標準ウィーナー・ブリッジの一般化である $\alpha$-ウィーナー・ブリッジ過程の明示的なカラフネン＝ローベ展開を提供すること。
• $\alpha$-ウィーナー・ブリッジの $L^2[0,T]$-ノルムの二乗のラプラス変換を計算すること。
• プロセスの $L^2$-ノルムの二乗の小および大偏差の漸近的挙動を分析すること。
• このクラスのブリッジに対して重み付きおよび重みなし形の両方を含む、ガウス過程のKL展開に関する既知の結果を拡張すること。

提案手法

• プロセス $X_t^{(\alpha)}$ は、SDE $\mathsf{d}X_t^{(\alpha)} = -\frac{\alpha}{T-t}X_t^{(\alpha)}\mathsf{d}t + \mathsf{d}B_t$ および $X_0^{(\alpha)} = 0$ によって定義され、明示解 $X_t^{(\alpha)} = \int_0^t \left(\frac{T-t}{T-s}\right)^\alpha \mathsf{d}B_s$ を得る。
• 共分散関数 $R^{(\alpha)}(s,t)$ が導出され、これは $\alpha \neq 1/2$ および $\alpha = 1/2$ の場合に分岐し、累乗および対数項を含む。
• 共分散作用素の固値問題を解くことでカラフネン＝ローベ展開が構成され、固有関数は $\nu = \alpha - 1/2$ を用いたベッセル関数 $J_{\nu}$ および $Y_{\nu}$ を含む。
• $L^2[0,T]$-ノルムの二乗が、独立同一分布の標準正規変数の二乗の和に固有値でスケーリングされた形で表現され、これによりラプラス変換の計算が可能になる。
• 小および大偏差の漸近的解析は、ナザロフとプセフ [29] の結果を用い、特にベッセル関数の零点の振る舞いとスペクトルの減衰を活用して実施される。
• 理論的道具としては、ベッセル関数のオイラー積分表示、$J_\nu^2$ を含む積分恒等式、および零点 $z_k^{(\nu)}$ の漸近的展開が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\alpha$-ウィーナー・ブリッジ過程の明示的な重み付きおよび重みなしカラフネン＝ローベ展開は何か？
• RQ2 $\alpha$-ウィーナー・ブリッジの $L^2[0,T]$-ノルムの二乗のラプラス変換は何か？
• RQ3 プロセスの $L^2[0,T]$-ノルムの二乗の小および大偏差の漸近的挙動は何か？
• RQ4 共分散作用素のスペクトル的性質は、ノルムの分布およびその尾部挙動にどのように影響するか？

主な発見

• $\alpha$-ウィーナー・ブリッジのカラフネン＝ローベ展開は、$\nu = \alpha - 1/2$ を用いたベッセル関数 $J_{\nu}$ および $Y_{\nu}$ から導かれる固有関数を用いて明示的に構成され、独立同一分布の標準正規変数を用いた級数表現が得られる。
• $X^{(\alpha)}$ の $L^2[0,T]$-ノルムの二乗のラプラス変換は、スペクトル分解およびベッセル関数の性質を用いて明示的に計算される。
• $\alpha \geq 1/2$ の場合、小偏差確率は $\mathsf{P}\left(\|X^{(\alpha)}\|_{L^2}^2 \leq \varepsilon\right) \sim \frac{2^{\frac{3}{2}-\nu}\pi^{-1/4}}{\sqrt{\Gamma(1+\nu)}T^{1/2-\nu}} \varepsilon^{\frac{1}{4}-\frac{\nu}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{T^2}{8\varepsilon}}$ として $\varepsilon \downarrow 0$ のとき成り立ち、指数的減衰を示す。
• 大偏差確率は $\mathsf{P}\left(\|X^{(\alpha)}\|_{L^2}^2 \geq x\right) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\frac{T^2}{8x}}$ として $x \to \infty$ のとき成り立ち、ガウス型の尾部減衰を示す。
• 共分散作用素の固有値が $n$ が大きいとき $\lambda_n \sim \frac{1}{n^2}$ と減衰することが示され、これにより元の積分作用素のスペクトル的性質と整合的である。
• ベッセル関数の零点 $z_k^{(\nu)} \sim \left(k + \frac{1}{2}(\nu - \frac{1}{2})\right)\pi$ の漸近的挙動が用いられ、正確な小偏差レートが導出され、指数的減衰構造が確認される。