[论文解读] Katz type p-adic L-functions for primes p non-split in the CM field

Fabrizio Andreatta, Adrian Iovita|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文为CM域K中p在K内素或分歧时的椭圆尖点形式与Eisenstein级数（经由Hecke特征标扭曲）构造了Katz型p进L函数——扩展了以往仅限于分裂p的情形。通过CM作用于向量丛及Gauss-Manin联络的p进迭代，作者定义了插值特殊值的p进L函数，并在非分裂情形下证明了p进Gross-Zagier与Kronecker极限公式。

ABSTRACT

For every triple F,K,p where F is a classical elliptic eigenform, K is a quadratic imaginary field and p> 3 is a prime integer which is not split in K, we attach a p-adic L function which interpolates the algebraic parts of the special values of the complex L-functions of F twisted by certain algebraic Hecke characters of K. This construction extends a classical construction of N. Katz, for F an Eisenstein series and of Bertolini-Darmon-Prasana, for F a cuspform, when p is split in K. Moreover we prove a Kronecker limit formula, respectively p-adic Gross-Zagier formulae for our newly defined p-adic L-functions.

研究动机与目标

• 将Katz p进L函数的经典构造扩展至素数p在CM域K中不分裂（包括p为素或分歧）的情形。
• 为尖点形式与Eisenstein级数定义一变量与两变量p进L函数，使其插值具有p幂导子的扭曲L函数的特殊值。
• 在非分裂情形下，为这些新的p进L函数建立p进Gross-Zagier与Kronecker极限公式。
• 通过CM作用于向量丛来定义Hodge滤子的分裂，以克服在p为素或分歧情形下单位根分裂的缺失。
• 将使用Gauss-Manin联络与p-消去算子的p进插值方法推广至非典型情形。

提出的方法

• 在模曲线$\mathcal{X}_1(N)_{b(p,r)}$上定义一个p进模形式层$\mathbb{W}_k$，通过Gauss-Manin联络$\nabla_k$的p进迭代实现。
• 为模形式$g$构造p进迭代联络$\nabla^\nu(g)$，通过权约束与系数的p进收敛性确保其收敛。
• 利用$1 + p\mathcal{O}_c$在CM点处$\mathbb{W}_{k+2\nu}$的特化上的CM作用，定义Hodge滤子的分裂$\Psi_{x_0}$，替代单位根分裂。
• 通过在CM点$\mathfrak{a} \ast x_0$处对$\nabla^\nu(F^{[p]})$进行取值，结合Hecke特征标$\chi^{-1}$加权，并与典范微分$\Omega_{\rm can}$对偶，定义p进L函数。
• 应用p-消去算子以处理非典型形式，并在无典型点分裂的情形下确保p进迭代的收敛性。
• 通过证明p进L函数在$F$为尖点形式或Eisenstein级数、且$\chi$为导子为$p^n$（$n \geq 2$）的Hecke特征标时，与$L(F, \chi, 0)$的代数部分一致，从而证明插值性质，其中$p \geq 5$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$F$为尖点形式或Eisenstein级数，$\chi$为$K$的Hecke特征标，且$p$在$K$中为素或分歧时，能否构造一个插值$L(F, \chi, 0)$代数部分的p进L函数？
• RQ2 在单位根分裂不可用的非分裂情形下，如何将经典特殊值插值性推广至非分裂情形？
• RQ3 这些新p进L函数在非分裂情形下的p进Gross-Zagier公式为何？
• RQ4 能否在$K$中$p$为素或分歧的情形下建立p进L函数的Kronecker极限公式？
• RQ5 如何利用Gauss-Manin联络与向量丛结构在不依赖典型或单位根分解的前提下定义p进L函数？

主要发现

• 作者为尖点形式与Eisenstein级数构造了一元与二元p进L函数，其插值了当$p \geq 5$且$\chi$为导子$p^n$（$n \geq 2$）的Hecke特征标时$L(F, \chi, 0)$的代数部分。
• 当$p$在$K$中为素或分歧时，p进L函数通过在CM点处对$\nabla^\nu(F^{[p]})$取值来定义，使用由$1 + p\mathcal{O}_c$的CM作用诱导的分裂$\Psi_{x_0}$。
• p进L函数满足插值性质：$L_p(F, \chi^{-1}) = \sum_{\mathfrak{a} \in \operatorname{Pic}(\mathcal{O}_c)} \chi^{-1}(\mathfrak{a}) \cdot \Psi_{\mathfrak{a} \ast x_0}(\nabla^\nu(F^{[p]}))|_{\mathfrak{a} \ast x_0}(\mathfrak{a} \ast \Omega_{\rm can})$。
• 为这些新p进L函数建立了p进Gross-Zagier公式，将p进L函数的导数与非分裂情形下Heegner点的高联系起来。
• 证明了p进L函数的Kronecker极限公式，将p进L函数的常数项与CM点的p进对数联系起来。
• 该构造通过CM椭圆曲线自同态下的向量丛形式的函子性，避免了单位根分裂，从而在$K$中$p$为素或分歧的情形下仍可适用。