[论文解读] Square root $p$-adic $L$-functions, I: Construction of a one-variable measure

Michael Harris|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 2

一句话总结

本文通过 p-adic 模形式与 Hida 家族，构建了一个一元 p-adic 测度，插值与酉群上自守形式相关的 L 函数的特殊值。该研究为实现反循环 p-adic L 函数的平方根迈出关键一步，通过证明存在一个 p-adic 测度，其取值插值 Ichino-Ikeda-Nguyen (IINH) 猜想中的周期，特别是在一个形式为全纯而另一个为反全纯的情况下。

ABSTRACT

The Ichino-Ikeda conjecture, and its generalization to unitary groups by N. Harris, has given explicit formulas for central critical values of a large class of Rankin-Selberg tensor products. Although the conjecture is not proved in full generality, there has been considerable progress, especially for $L$-values of the form $L(1/2,BC(\pi) imes BC(\pi'))$, where $\pi$ and $\pi'$ are cohomological automorphic representations of unitary groups $U(V)$ and $U(V')$, respectively. Here $V$ and $V'$ are hermitian spaces over a CM field, $V$ of dimension $n$, $V'$ of codimension $1$ in $V$, and $BC$ denotes the twisted base change to $GL(n) imes GL(n-1)$. This paper contains the first steps toward generalizing the construction of my paper with Tilouine on triple product $L$-functions to this situation. We assume $\pi$ is a holomorphic representation and $\pi'$ varies in an ordinary Hida family (of antiholomorphic forms). The construction of the measure attached to $\pi$ uses recent work of Eischen, Fintzen, Mantovan, and Varma.

研究动机与目标

• 构建一个插值酉群上自守表示的中心 L 值的 p-adic 测度。
• 通过周期积分的 p-adic 插值，实现反循环 p-adic L 函数平方根的一个分支。
• 将 [HT] 的方法扩展至酉群与 IINH 猜想的情形，特别针对一个全纯分量与一个反全纯分量的表示。
• 在 Hida 家族的背景下，建立与 GGP 和 IINH 猜想相容的 p-adic 测度的存在性。

提出的方法

• 使用 p-adic 模形式与微分算子，从全纯自守形式构造 p-adic 测度。
• 应用 Hida 理论构造自守形式的族，重点关注平凡与反平凡参数。
• 运用等变测度与配对构造，将上同调周期与 p-adic L 值关联。
• 利用 Gorenstein 假设，确保测度与 Hida 家族结构的相容性。
• 应用 Ichino-Ikeda-Nguyen (IINH) 猜想，将特殊 L 值与自守形式的周期关联。
• 通过与 Hida 家族配对，并与反平凡形式配对，构造一维 p-adic 测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个一元 p-adic 测度，使其插值酉群上 IINH 猜想所导出的 L 函数的特殊值？
• RQ2 在 Hida 家族中，全纯与反全纯形式的周期积分在 p-adic 插值下如何表现？
• RQ3 Gorenstein 条件在确保此类 p-adic 测度存在性方面起什么作用？
• RQ4 该构造如何与酉群背景下全局 Gan-Gross-Prasad 与 Ichino-Ikeda 猜想相关联？

主要发现

• 构造了一个一元 p-adic 测度，插值与酉群上自守表示相关的 Rankin-Selberg L 函数的中心 L 值。
• 通过 IINH 猜想中周期积分的 p-adic 插值，实现了反循环 p-adic L 函数平方根的一个分支。
• 该测度与 Gorenstein 假设以及 Hida 家族中反平凡形式的配对结构相容。
• 该方法将 [HT] 的框架扩展至酉群情形，为具有一个全纯与一个反全纯分量的表示提供了周期的 p-adic 插值。
• 该构造与全局 Ichino-Ikeda-Nguyen 猜想一致，特别是在自守表示为上同调且稳定的情况下。