[논문 리뷰] Kazhdan and Haagerup Properties in algebraic groups over local fields

Yves Cornulier|ArXiv.org|2004. 04. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 체 위의 최소 및 거의 최소 가환 리 대수의 구조적 특성에 대해 비가역 표현과 불변의 교환형 형식을 사용하여 규명한다. 또한 특성 0인 국소체 위의 대수적 군이 분할되지 않은 가환 라디칼을 가질 경우, 그 유리점의 군은 상대적 Property (T)를 가지며, 따라서 Haagerup 성질을 갖지 않음을 증명한다. 이는 연결 리 군에서의 결과를 국소체 위의 대수적 군으로 확장한다.

ABSTRACT

Given a Lie algebra \s, we call Lie \s-algebra a Lie algebra endowed with a reductive action of \s. We characterize the minimal \s-Lie algebras with a nontrivial action of \s, in terms of irreducible representations of \s and invariant alternating forms. As a first application, we show that if \g is a Lie algebra over a field of characteristic zero whose amenable radical is not a direct factor, then \g contains a subalgebra which is isomorphic to the semidirect product of sl_2 by either a nontrivial irreducible representation or a Heisenberg group (this was essentially due to Cowling, Dorofaeff, Seeger, and Wright). As a corollary, if G is an algebraic group over a local field K of characteristic zero, and if its amenable radical is not, up to isogeny, a direct factor, then G(K) has Property (T) relative to a noncompact subgroup. In particular, G(K) does not have Haagerup's property. This extends a similar result of Cherix, Cowling and Valette for connected Lie groups, to which our method also applies. We give some other applications. We provide a characterization of connected Lie groups all of whose countable subgroups have Haagerup's property. We give an example of an arithmetic lattice in a connected Lie group which does not have Haagerup's property, but has no infinite subgroup with relative Property (T). We also give a continuous family of pairwise non-isomorphic connected Lie groups with Property (T), with pairwise non-isomorphic (resp. isomorphic) Lie algebras.

연구 동기 및 목표

• 비가역 표현과 불변의 교환형 형식을 통해 특성 0인 체 위의 최소 및 거의 최소 가환 리 대수를 특성화하기.
• 연결 리 군에서의 Property (T) 및 Haagerup 성질에 대한 결과를 국소체 위의 대수적 군으로 확장하기.
• 가환 라디칼이 직접 인자로 분해되지 않을 경우, 국소체 위의 대수적 군이 Haagerup 성질을 갖지 못하는 조건을 설정하기.
• 서로 동형이 아닌 리 대수를 갖는 연속적인 가군의 연결 리 군의 예를 구성하여, 이러한 군의 연속적인 가군이 존재함을 보여주기.
• Haagerup 성질을 갖지 않는 군이 항상 무한 부분군을 상대적 Property (T)와 함께 가져야 한다는 명제의 역이 성립하지 않는 반례를 제시하기.

제안 방법

• 완전 가역적 작용을 갖는 반단순 리 대수 $\mathfrak{s}$를 갖는 리 대수인 Lie $\mathfrak{s}$-대수의 개념을 도입하여, 반직접곱의 구조를 일반화한다.
• 최소 및 거의 최소 가환 리 $\mathfrak{s}$-대수를 정의하고, 노름성, 도출 부분대수, 몫의 비가역성 조건을 통해 특성화한다.
• $\mathfrak{h}(\mathfrak{v})$를 $\mathfrak{s}$-모듈 $\mathfrak{v}$와 $\mathfrak{s}$-불변 교환형 형식의 공간의 쌍대공간의 반직접곱으로 구성하며, 특정한 괄호 법칙을 부여한다.
• 비가역 $\mathfrak{s}$-모듈과 $\mathfrak{s}$-불변 교환형 형식의 분류를 이용하여, 모든 거의 최소 가환 리 $\mathfrak{s}$-대수를 $\mathfrak{h}(\mathfrak{v})$의 몫으로 분류한다.
• 분류 결과를 특성 0인 체 위의 리 대수에 있는 비자명한 가환 라디칼에 적용하여, 만약 라디칼이 직접 인자로 분해되지 않으면 $\mathfrak{g}$가 $\mathfrak{sl}_2$-반직접곱과 비자명한 비가역 표현을 갖는 부분대수 또는 하이젠베르크 대수를 포함함을 보인다.
• 리 대수 결과를 국소체 위의 대수적 군에 적용하여, 만약 라디칼이 이소지노미에 대해 직접 인자로 분해되지 않으면 $G(\mathbf{K})$가 상대적 Property (T)를 가지며, 따라서 Haagerup 성질을 갖지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 국소체 위의 대수적 군이 언제 Haagerup 성질을 갖지 못하는가?
• RQ2 군의 유리점의 군에 상대적 Property (T)를 유도하는 데 필요한 리 대수의 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ3 국소체 위의 대수적 군에서 가환 라디칼의 구조로 인해 Haagerup 성질의 결여를 감지할 수 있는가?
• RQ4 서로 동형이 아닌 리 대수를 갖는 연결 리 군의 연속적인 가군이 존재하는가?
• RQ5 유한 생성 군이 어떤 무한 부분군과도 상대적 Property (T)를 갖지 않지만, 여전히 Haagerup 성질을 갖지 못하는 경우가 있는가?

주요 결과

• 가환 리 $\mathfrak{s}$-대수는 정확히 다음 조건을 만족할 때 최소이다: 2-노름성, $[\mathfrak{s},\mathfrak{n}] = \mathfrak{n}$, $[\mathfrak{s},D\mathfrak{n}] = 0$, 그리고 $\mathfrak{n}/D\mathfrak{n}$ 가 $\mathfrak{s}$-모듈로서 비가역적이다.
• 모든 거의 최소 가환 리 $\mathfrak{s}$-대수들은 비가역 $\mathfrak{s}$-모듈 $\mathfrak{v}$에 대해 $\mathfrak{h}(\mathfrak{v}) = \mathfrak{v} \oplus \operatorname{Alt}_\mathfrak{s}(\mathfrak{v})^*$ 의 몫으로서 유도된다.
• 특성 0인 체 위의 리 대수 $\mathfrak{g}$가 비자명한 가환 라디칼을 갖고, 그것이 직접 인자로 분해되지 않으면, $\mathfrak{g}$는 비자명한 비가역 $\mathfrak{sl}_2$-모듈 $\mathfrak{v}$를 갖는 $\mathfrak{sl}_2 \ltimes \mathfrak{v}$ 또는 하이젠베르크 대수와 동형인 부분대수를 포함한다.
• 특성 0인 국소체 $\mathbf{K}$ 위의 대수적 군 $G$에 대해, 만약 가환 라디칼이 이소지노미에 대해 직접 인자로 분해되지 않으면, $G(\mathbf{K})$는 비콤팩acts하는 부분군에 대해 상대적 Property (T)를 가지며, 따라서 Haagerup 성질을 갖지 않는다.
• 서로 동형이 아닌 리 대수를 갖는 연결 리 군의 연속적인 가군이 존재하며, 이는 Property (T)가 리 대수의 동형류를 결정하지 못함을 보여준다.
• 연결 리 군 내의 산술 격자 $\Gamma = \mathrm{SO}(q)(\mathbf{Z}[\sqrt{2}]) \ltimes \mathbf{Z}[\sqrt{2}]^n$ 은 Haagerup 성질을 갖지 않지만, 어떤 무한 부분군과도 상대적 Property (T)를 갖지 않으며, 이는 Haagerup 성질의 결여가 그러한 부분군의 존재를 의미하지는 않음을 보여준다.