[논문 리뷰] Kazhdan projections, random walks and ergodic theorems

Cornelia Druţu, Piotr W. Nowak|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 14.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 군의 랜덤 워크와 관련된 마르코프 연산자를 도입하여, 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 카즈단 프로젝션, 랜덤 워크, 에르고딕 정리 간의 연결 고리를 설정한다. 균일한 볼록성 조건 하에서 스펙트럴 갭, 반복 마르코프 연산자의 수렴, 카즈단 프로젝션의 존재성이 서로 동치임을 증명하며, 노이만 급수를 통해 프로젝션에 대한 명시적 공식을 제공한다. 주요 기여는 전개된 콘의 비유계 껍질 프로젝션을 구성한 것으로, 이는 거칠은 바움-콘스 추측의 반례가 될 것으로 추측된다.

ABSTRACT

In this paper we investigate generalizations of Kazhdan's property $(T)$ to the setting of uniformly convex Banach spaces. We explain the interplay between the existence of spectral gaps and that of Kazhdan projections. Our methods employ Markov operators associated to a random walk on the group, for which we provide new norm estimates and convergence results. They exhibit useful properties and flexibility, and allow to view Kazhdan projections in Banach spaces as natural objects associated to random walks on groups. We give a number of applications of these results. In particular, we address several open questions. We give a direct comparison of properties $(TE)$ and $FE$ with Lafforgue's reinforced Banach property $(T)$; we obtain shrinking target theorems for orbits of Kazhdan groups; finally, answering a question of Willett and Yu we construct non-compact ghost projections for warped cones. In this last case we conjecture that such warped cones provide counterexamples to the coarse Baum-Connes conjecture.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 워크와 마르코프 연산자를 사용하여 균일하게 볼록한 바나흐 공간으로 카즈단의 성질 (T)을 일반화하기 위해.
• 이 설정에서 스펙트럴 갭, 마르코프 연산자 수렴, 카즈단 프로젝션의 존재성 간의 동치성을 확립하기 위해.
• 비결정 문제를 해결하기 위해, 전개된 콘에 대한 비유계 껍질 프로젝션의 구성 포함.
• 기하군론과 에르고딕 이론을 통해 거칠은 바움-콘스 추측을 연구하기 위한 새로운 프레임워크 제공하기 위해.

제안 방법

• 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 군의 등거리 표현의 가족을 도입하고, 군 위의 적합한 확률 측도를 정의하기 위해.
• 랜덤 워크와 관련된 마르코프 평균 연산자 Aμπ를 정의하고 고정된 벡터에 대한 프로젝션으로의 수렴을 분석하기 위해.
• 스펙트럴 갭, 고정점 보완 공간에서 Aμπ의 균일한 연산자 노름 감쇠, 반복된 연산자의 합수 수렴 간의 동치성을 증명하기 위해.
• 노이만 급수를 사용하여 카즈단 프로젝션에 대한 명시적 공식 유도: Pπ = IE − (∑ₙ₌₀^∞ (Aμπ)^n)(IE − Aμπ).
• 전개된 콘에 이 프레임워크를 적용하여, 유한 전파 연산자의 노름 극한인 L²(O,ν) 위의 프로젝션 G를 구성하기 위해.
• 푸비니의 정리와 스펙트럴 갭 추정을 사용하여 G가 비유계 껍질 프로젝션임을 보이며, 연산자 노름 감쇠 ∥π(ρᵏ) − G∥ ≤ λᵏ (λ < 1)을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 군 표현의 스펙트럴 갭은 마르코프 연산자 수렴과 카즈단 프로젝션을 통해 특징지을 수 있는가?
• RQ2 군에서의 적합한 랜덤 워크는 바나흐 대수에서 카즈단 프로젝션의 효과적 구성법을 제공하는가?
• RQ3 전개된 콘에 대해 비유계 껍질 프로젝션을 구성할 수 있으며, 이는 거칠은 바움-콘스 추측을 방해하는가?
• RQ4 균일한 볼록성이 스펙트럴 갭과 연산자 수렴 간의 동치성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이러한 구성은 라포르그의 강화된 바나흐 성질 (T) 및 성질 (TE)/FE와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 등거리 표현의 가족에 대해 스펙트럴 갭이 존재하는 것은, 고정점 보완 공간에서 마르코프 연산자 Aμπ의 균일한 연산자 노름 감쇠와 동치이며, ‖Aμπ|Eπ‖ < λ < 1을 만족한다.
• 노이만 급수를 사용하여 카즈단 프로젝션 Pπ에 대한 명시적 공식을 도출: Pπ = IE − (∑ₙ₌₀^∞ (Aμπ)^n)(IE − Aμπ).
• 모든 적합한 측도 μ에 대해 반복 마르코프 연산자 (Aμπ)^k 는 Pπ로 수렴하며, 합수 속도를 만족한다: ‖(Aμπ)^k − Pπ‖ ≤ ak 이고 ∑ₖ ak ≤ S < ∞.
• 전개된 콘 OGM 위의 프로젝션 G는 유한 전파 연산자의 노름 극한인 비유계 껍질 프로젝션으로, 연산자 노름 감쇠 ∥π(ρᵏ) − G∥ ≤ λᵏ (λ < 1)을 만족한다.
• 이 구성은 힐버트 공간이 아닌 공간에서 비유계 껍질 프로젝션의 첫 번째 알려진 예를 제공하며, 이러한 전개된 콘들이 거칠은 바움-콘스 추측의 반례가 될 수 있다는 추측을 뒷받침한다.
• 이 프레임워크는 스펙트럴 갭을 갖는 컴팩트 메트릭 공간에서의 작용에 적용 가능하며, 작용이 스펙트럴 갭을 갖는다면 보흐너 공간 L²(M,m;E)에서 껍질 프로젝션을 도출한다.