[논문 리뷰] KK-theory and Spectral Flow in von Neumann Algebras

Jens Kaad, Ryszard Nest외 1명|ArXiv.org|2007. 01. 11.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 노름 닫힌 이상에 모odular된 von Neumann 대수에서 자기수반 연산자들의 경로에 대한 $K$-이론 값의 스펙트럴 플로우 불변량을 도입하며, 수치적 스펙트럴 플로우를 일반화한다. 이는 코호몰로지적 Kasparov 곱 공식을 통해 딜라 연산자와 그 유니터리 코어진 연산자 사이의 von Neumann 스펙트럴 플로우가 스펙트럴 트리플 클래스와 유니터리의 Kasparov 곱과 일치함을 보여주며, 비가환 기하학에서 $KK$-이론, 스펙트럴 플로우, 지수 이론을 통합한다.

ABSTRACT

We present a definition of spectral flow relative to any norm closed ideal J in any von Neumann algebra N. Given a path D(t) of selfadjoint operators in N which are invertible in N/J, the spectral flow produces a class in K_0(J). In the case when N is semifinite, the numerical spectral flow of the path coincides with the value of trace on the associated K-class. Given a semifinite spectral triple (A,H,D) relative to a semifinite von Neumann algebra N, we construct a class [D] in KK^1(A,N') such that, for a unitary u in A, the von Neumann spectral flow between D and u*Du is equal to the Kasparov product of [u] and [D].

연구 동기 및 목표

• 노름 닫힌 이상에 모odular된 von Neumann 대수에서 자기수반 연산자들의 경로에 대한 $K$-이론 값의 스펙트럴 플로우 불변량을 개발하기 위해.
• 반유한 스펙트럴 트리플 이론을 von Neumann 대수로 일반화하기 위해 von Neumann 스펙트럴 트리플을 도입하기 위해.
• 스펙트럴 트리플에서 Kasparov 클래스를 구성하고, 그와 $K_1$-클래스의 페어링이 스펙트럴 플로우를 유도함으로써 스펙트럴 플로우를 $KK$-이론과 연결하기 위해.
• 스펙트럴 플로우를 $C^*$-스펙트럴 플로우와 수치적 스펙트럴 플로우로의 추적을 통해 정교화함으로써, 스펙트럴 플로우 불변량을 $C^*$-스펙트럴 플로우 및 수치적 스펙트럴 플로우와 연결하기 위해.
• 스펙트럴 플로우가 $K$-이론에 의해 제약을 받는 통합 프레임워크를 제공하여, 수치적 측정값만으로는 얻을 수 없는 더 강력한 해석적 및 위상적 제약 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• von Neumann 대수 $N$와 노름 닫힌 이상 $J$의 쌍 $(N, J)$에 대해, $K$-이론의 경계 사상( boundary map )을 사용하여 $K_0(J)$-값의 지수 이론을 정의하기 위해.
• 노름 닫힌 이상에 모odular된 역행성 연산자들의 경로에 대해, 클래스 $[N(S)] - [N(S^*)] riangleq eta[ ilde{u}] o K_0(J)$로 von Neumann 스펙트럴 플로우를 구성하기 위해.
• 반유한 스펙트럴 트리플의 일반화로, 딜라 연산자와 $*$-대수의 작용이 힐버트 모듈러스 위에 정의된 $(N, J)$ 위에서의 von Neumann 스펙트럴 트리플을 도입하기 위해.
• 스펙트럴 트리플에서 $KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$에 속하는 Kasparov 클래스 $[ ilde{ ho}] riangleq [ ho] times ilde{ ho} imes ext{sign}( ilde{D})$를 구성하기 위해.
• 유니터리 $u o u^*Du$에 대한 von Neumann 스펙트럴 플로우가 $KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$에서 Kasparov 곱 $[u] times [ ilde{ ho}]$ 와 일치함을 증명하기 위해.
• 타우-유한 부분대수로 제한함으로써 $C^*$-스펙트럴 플로우를 von Neumann 스펙트럴 플로우와 연결하고, 추적을 통해 두 스펙트럴 플로우 모두를 수치적 스펙트럴 플로우와 연결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 von Neumann 대수의 맥락에서 스펙트럴 플로우는 어떻게 수치적 불변량을 초월하여 $K$-이론 값의 불변량으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 이상 $J$에 모odular된 자기수반 연산자들의 경로에 대한 스펙트럴 플로우와 $K$-이론 군 $K_0(J)$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 유니터리 $u$와 스펙트럴 트리플 클래스 $[ ilde{ ho}]$의 Kasparov 곱은 어떻게 von Neumann 설정에서 스펙트럴 플로우를 재현하는가?
• RQ4 $C^*$-스펙트럴 플로우와 수치적 스펙트럴 플로우는 $K$-이론 값의 von Neumann 스펙트럴 플로우와 어떤 방식으로 정교화되거나 관련되는가?
• RQ5 $K$-이론 값의 스펙트럴 플로우는 특히 반유한 von Neumann 대수에서 수치적 스펙트럴 플로우의 가능한 값들을 제약할 수 있는가?

주요 결과

• 노름 닫힌 이상 $J$에 모odular된 von Neumann 대수 $N$ 내의 자기수반 연산자들의 경로에서, $K$-이론의 경계 사상( boundary map )을 통해 $K_0(J)$에 속하는 클래스로 von Neumann 스펙트럴 플로우가 정의된다.
• $(N, au)$에 상대적인 반유한 스펙트럴 트리플 $( ho, H, ilde{D})$에 대해, $KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$에 속하는 클래스 $[ ilde{ ho}] riangleq [ ho] times ilde{ ho} imes ext{sign}( ilde{D})$ 가 도출된다.
• 디라크 연산자 $\tilde{D}$와 $u^*\tilde{D}u$ 사이의 von Neumann 스펙트럴 플로우는 $KK^1(A, \tilde{\rho}(A)\rtimes \tilde{\rho}(A)^{op})$에서 Kasparov 곱 $[u] \rtimes [\tilde{\rho}]$ 와 같다.
• $C^*$-스펙트럴 플로우는 타우-유한이고 타우-단위인 부분대수에서 목표 $K$-이론 군을 $K_0(\rho(A))$로 제한함으로써 정의되며, 이는 von Neumann 스펙트럴 플로우를 정교화한다.
• 추적 $\tau$를 통해 계산된 수치적 스펙트럴 플로우는 공식 $ \text{sf}_{\text{num}}(\tilde{D}, u^*\tilde{D}u) = \tau \big( \text{Tr}(\text{sign}(\tilde{D}) - \text{sign}(u^*\tilde{D}u)) \big) $ 를 통해 $K$-이론 값의 스펙트럴 플로우와 관련되며, 이는 $K$-이론 불변량과 일관된다.
• $K$-이론 값의 스펙트럴 플로우는 특히 반유한 경우에 수치적 스펙트럴 플로우의 가능한 값을 제약하며, 이 경우 수치적 스펙트럴 플로우는 사전에 임의의 실수 값일 수 있다.