[논문 리뷰] Komplexe elliptische Geschlechter und S^1-aequivariante Kobordismustheorie (Complex elliptic genera and S^1-equivariant cobordism theory)

Gerald Hoehn|arXiv (Cornell University)|2004. 05. 12.

Geometric and Algebraic Topology인용 수 9

한 줄 요약

이 diploma 학위 논문은 U-구조를 가진 복소다양체로 방향성 있는 다양체에서 타원형 형식의 이론을 일반화하며, S¹-등변 코바디즘 이론을 통해 복소다양체의 타원형 형식을 위한 프레임워크를 수립한다. 이 논문은 모듈라 형식을 사용하여 이러한 형식을 특성화하고, S¹-작용 하에서의 정수성과 강성( rigidity )을 증명하며, Ochanine와 Witten의 고전적 결과를 특성 급수와 등변 지수 이론을 통해 복소 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We introduce the universal complex elliptic genus phi_ell as the ring homomorphism from the complex cobordism ring Omega^U to the polynomial ring C[A,B,C,D] associated to the characteristic power series Q(x)=x/f(x), where f is the solution of the differential equation (f'/f)'=S(f'/f), S(y) = (y+A/2)^4-B/4*(y+A/2)^2+4C*(y+A/2)+B^2/64-2D. Formally, phi_ell arises as the index of the Dolbeault operator of the loop space of a manifold. For manifolds with vanishing first Chern class, phi_ell becomes a Jacobi form F(z,τ) for the full Jacobi group Z^2 x PSL_2(Z). We prove the rigidity of phi_ell for S^1-actions on SU-manifolds. The kernel of phi_ell in the rational SU-cobordism ring is characterized as the ideal generated by manifolds with S^1-action of fixed type t (an integer) different from 0. For z to be an N-division point on the elliptic curve determined by τ, phi_ell specializes to the Level N genus phi_N. We introduce the cobordism ring Omega^{U,N} of stably almost complex manifolds with first Chern class divisible by N and characterize the kernel of phi_N by certain ideals in the rationalized ring Omega^{U,N}. In Chapter 1, we construct a base sequence W_1, W_2, W_3, ... of the rational cobordism ring Omega^U on which phi_ell has the values A, B, C, D, and 0 for W_i with i>=5. In Chapter 2, phi_ell and phi_N are investigated and the main results are proven. Chapter 3 contains the further result that the level N genus is invariant under the blow up along a submanifold Y of a complex manifold X if the codimension of Y in X is congruent 1 modulo N.

연구 동기 및 목표

• 이전에 방향성 있는 다양체와 스피노 다각체에서 정의된 타원형 형식 이론을 U-구조를 가진 복소다양체로 확장하는 것.
• Γ₁(N)과 관련된 모듈라 형식을 사용하여 S¹-등변 코바디즘과 함께 복소다양체의 타원형 형식을 특성화하는 것.
• 일반화된 복소다양체 타원형 형식이 S¹-작용 하에서 정수성과 강성을 가지며, 실수 및 스피노 경우의 결과를 일반화하는 것.
• 효율적인 S¹-작용을 갖는 다양체에 의해 생성된 코바디즘 아이디얼의 관점에서 복소다양체 타원형 형식의 핵을 조사하는 것.
• 특성 급수와 등변 지수 이론을 통한 형식의 코homological 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 특성 급수 Q(x) = x/f(x)와 관련된 형식 φ_ell을 정의하며, 여기서 f는 타원적 적분의 역함수이다.
• 원환면군의 작용을 연구하고 등변 서명과의 연관성을 규명하기 위해 S¹-등변 코바디즘 이론을 사용한다.
• 형식은 Γ₁(N)에 대한 모듈라 형식의 값을 취하며, 형식적 군법을 통해 Ω_*^U ⊗ ℂ에서 M_*(Γ₁(N))로의 일반형식 사상이 존재한다.
• 특히 첫 번째 코호몰로지 클래스가 N으로 나누어떨어지는 조건을 중심으로 특성 클래스와 켈란 클래스 이론을 활용한다.
• Hirzebruch의 강의록과 Ochanine 및 Witten의 타원형 형식 연구를 확장하여 복소 설정으로 일반화한다.
• 강성의 증명은 등변 지수의 구조와 S¹-작용에서의 고정점 데이터 행동에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 방향성 있는 다양체와 스피노 다각체에서 타원형 형식 이론을 U-구조를 가진 복소다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ2 S¹-등변 코바디즘은 복소다양체 타원형 형식을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 복소다양체 타원형 형식이 정수성을 가지는 조건은 무엇이며, 이는 첫 번째 코호몰로지 클래스의 나누어떨어짐 조건과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 효율적인 S¹-작용을 갖는 다양체에 의해 생성된 코바디즘 아이디얼의 관점에서 복소다양체 타원형 형식의 핵은 무엇인가?
• RQ5 형식의 모듈라 성질은 자유 루프 공간의 등변 서명과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 첫 번째 코호몰로지 클래스가 N으로 나누어떨어지는 경우, 복소다양체 타원형 형식 φ_ell은 정수성을 가지며, 스피노 경우의 정수성 조건을 일반화한다.
• 첫 번째 코호몰로지 클래스가 N으로 나누어떨어지는 복소다양체에서 S¹-작용 하에 타원형 형식은 강성( rigidity )을 가지며, Witten과 Ochanine의 강성 정리가 복소 설정으로 확장된다.
• 복소다양체 타원형 형식의 핵은 효과적인 S¹-작용을 갖는 연결 복소다양체에 의해 생성된 아이디얼로 식별되며, 실수 경우와 유사하다.
• 형식은 Γ₁(N)에 대한 모듈라 형식의 값을 취하며, 특성 급수를 통해 일반형식이 Ω_*^U ⊗ ℂ에서 M_*(Γ₁(N))로 사상된다.
• 구조군이 U-구조와 호환되게 작용하는 복소다양체를 섬유로 갖는 피복 구조에서 형식은 곱셈성을 가진다.
• 자유 루프 공간의 등변 서명은 생성함수로서 복소다양체 타원형 형식과 일치하며, Witten의 해석이 복소다양체로 확장된다.