[논문 리뷰] Koopman Form of Nonlinear Systems with Inputs

Lucian Cristian Iacob, Roland Tóth외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 25.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 입력이 있는 연속시간 및 이산시간 비선형 시스템에 대해 체계적으로 Koopman 표현을 유도하며, 결과적으로 상태에 따라 변하는 입력 행렬을 가진 선형 매개변수 변동형(LPV) 모델이 되며, 기존의 선형 정수형(LTI) Koopman 모델이 실패하는 정확한 기술을 제공한다. 주요 기여는 이론적으로 탄탄한 정확한 LPV Koopman 설정으로, 입력이 있는 비선형 시스템의 정확한 모델링 및 제어를 가능하게 하며, LTI Koopman 모델의 근사 오차를 정량화하는 오차 한계를 제공한다.

ABSTRACT

The Koopman framework proposes a linear representation of finite-dimensional nonlinear systems through a generally infinite-dimensional globally linear embedding. Originally, the Koopman formalism has been derived for autonomous systems. In applications for systems with inputs, generally a linear time invariant (LTI) form of the Koopman model is assumed, as it facilitates the use of control techniques such as linear quadratic regulation and model predictive control. However, it can be easily shown that this assumption is insufficient to capture the dynamics of the underlying nonlinear system. Proper theoretical extension for actuated continuous-time systems with a linear or a control-affine input has been worked out only recently, however extensions to discrete-time systems and general continuous-time systems have not been developed yet. In the present paper, we systematically investigate and analytically derive lifted forms under inputs for a rather wide class of nonlinear systems in both continuous and discrete time. We prove that the resulting lifted representations give Koopman models where the state transition is linear, but the input matrix becomes state-dependent (state and input-dependent in the discrete-time case), giving rise to a specially structured linear parameter-varying (LPV) description of the underlying system. We also provide error bounds on how much the dependency of the input matrix contributes to the resulting representation and how well the system behaviour can be approximated by an LTI Koopman representation. The introduced theoretical insight greatly helps for performing proper model structure selection in system identification with Koopman models as well as making a proper choice for LTI or LPV techniques for the control of nonlinear systems through the Koopman approach.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 및 이산시간 양쪽에서 일반적인 비선형 시스템에 대한 체계적인 Koopman 표현이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 자기연성 시스템을 초월하여 구동 동역학을 포함하는 Koopman 형식을 이론적으로 엄밀한 프레임워크로 확장하기 위해.
• 결과적으로 얻어진 Koopman 모델이 상태에 따라 변하는 입력 행렬을 가진 선형 매개변수 변동형(LP V)임을 보여주어 고급 LPV 제어 도구의 사용을 가능하게 하기 위해.
• 일반적으로 사용되는 LTI Koopman 모델의 근사 오차를 이론적으로 한계를 정하고, 진정한 시스템 동역학을 포괄하지 못하는 그들의 한계를 입증하기 위해.
• LPV 표현이 LTI 표현보다 필수적인 이유에 대한 이론적 통찰을 제공하여 Koopman 기반 시스템 식별 및 제어 설계에서 모델 구조 선택을 안내하기 위해.

제안 방법

• 상태와 입력을 고차원 공간으로 매핑하는 관측 함수를 사용하여 연속시간 및 이산시간 비선형 시스템에 대한 업그레이드된 Koopman 형태를 유도한다.
• 연쇄법칙과 미적분학 기본정리를 적용하여 Koopman 상태 전이가 여전히 선형인 것을 보이며, 입력 행렬이 상태에 따라 변하는(이산 시간에서는 상태와 입력에 모두 의존하는) 것을 입증한다.
• 결과적으로 얻어진 Koopman 모델이 특수한 구조를 가진 선형 매개변수 변동형(LP V) 시스템임을 수립하며, 매개변수 의존성은 입력 행렬의 상태 변화에서 기인한다.
• 미적분학 기본정리를 바탕으로 한 인수분해 보조정리를 사용하여 입력 행렬이 편미분의 적분으로 표현될 수 있음을 증명함으로써 정확한 표현이 가능함을 보장한다.
• 수치적 안정성과 시스템 식별에서의 모델 정확도를 향상시키기 위해 Tikhonov 정규화를 적용한 정규화된 확장 동적 모드 분해(EDMD) 추정기를 도입한다.
• 모의 실험에서 예측 오차를 최소화하기 위해 정규화 파rameter에 대한 그리드 서치를 수행하며, 기준 비선형 시스템에 대해 LTI 및 LPV Koopman 모델을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 비선형 시스템에 대해 연속시간 및 이산시간 모두에서 체계적인 Koopman 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ2 입력이 포함되었을 때 Koopman 모델의 구조적 형태는 무엇이며, 기존의 표준 LTI 가정과 어떻게 다를까?
• RQ3 Koopman 모델에서 입력 행렬의 상태 의존성이 LTI Koopman 모델에 비해 표현 정확도에 미치는 영향은 어느 정도인가?
• RQ4 LTI Koopman 모델의 근사 오차는 어떻게 이론적으로 한계를 정하고 정량화할 수 있는가?
• RQ5 유도된 LPV Koopman 모델은 입력이 있는 비선형 시스템의 시스템 식별 및 제어 설계를 향상시키는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 입력이 있는 비선형 시스템의 Koopman 모델은 본질적으로 상태에 따라 변하는 입력 행렬을 가진 선형 매개변수 변동형(LP V) 시스템이며, 이는 기존의 표준 LTI Koopman 모델보다 더 정확한 표현이다.
• 제안된 LPV Koopman 모델은 수치 시뮬레이션을 통해 기존 비선형 시스템 동역학을 기계 정밀도 수준까지 정확히 표현함을 입증하였다.
• 일반적으로 사용되는 LTI Koopman 모델은 유한하지만 무시할 수 없는 근사 오차를 유발하며, 비선형성과 입력 변화가 클수록 증가한다. 특히 입력 행렬이 일정하지 않을 경우 특히 그렇다.
• 정규화된 EDMD는 Tikhonov 정규화를 통해 수치적 안정성과 모델 정확도를 향상시키지만, 기저 모델이 LPV일 경우 정확한 동역학을 복원할 수는 없다.
• LTI Koopman 모델의 관측 함수 수를 늘리는 것은 근사 정확도를 크게 향상시키지 못하며, 오히려 불안정성이나 비현실적인 고유값을 유도할 수 있다.
• 모의 실험 결과는 LPV Koopman 모델이 LTI 모델보다 시스템 동역학을 더 잘 포괄함을 확인하였으며, 특히 다중 정현파 및 백색 잡음 입력에서 LTI 모델이 진짜 행동을 표현하지 못하는 상황에서 그 우수성이 뚜렷하다.